Derivación de la máxima probabilidad posterior en la elección del modelo bayesiano

Question

En Fundamentos bayesianos En la página 40, está la siguiente fórmula:

He intentado derivarlo.

$P(M=k|D=\frac{P(D|M=k)P(M=k)}{\sum_jP(D|M=j)P(M=j)}=\frac{\int P(D|\theta,M=k)P(\theta|M=k)\ d\theta \ \ P(M=k)}{\sum_jP(D|M=j)P(M=j)}=\frac{\int l_k(\theta)\pi_k(\theta)\ d\theta \ \ P(M=k)}{\sum_jP(D|M=j)P(M=j)}$

Sin embargo, estoy atascado en este último paso...

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

¡¡¡Perdón por esta terrible errata!!!

$$ \mathbb{P}^\pi(\mathfrak{M}=k|\mathscr{D}_n) = \dfrac{\mathbb{P}^\pi(\mathfrak{M}=k) \int \ell(\theta_k|\mathscr{D}_n)\pi_k(\theta_k)\,\text{d}\theta_k}{ \sum_{j=1}^J \mathbb{P}^\pi(\mathfrak{M}=j)\pi_j(\theta_j)\,\text{d}\theta_j}\,. $$ debe leerse como $$ \mathbb{P}^\pi(\mathfrak{M}=k|\mathscr{D}_n) = \dfrac{\mathbb{P}^\pi(\mathfrak{M}=k) \int \ell(\theta_k|\mathscr{D}_n)\pi_k(\theta_k)\,\text{d}\theta_k}{ \sum_{j=1}^J \mathbb{P}^\pi(\mathfrak{M}=j)\int \ell(\theta_j|\mathscr{D}_n)\pi_j(\theta_j)\,\text{d}\theta_j}\,. $$ que es también lo que propones como última ecuación en tu pregunta. Por alguna razón, el cortar y pegar entre el numerador y el denominador no ha funcionado del todo y no hemos detectado el error. Disculpa.