Cómo resolver inecuaciones cuadráticas con dos límites

Question

Estaba resolviendo una pregunta de matemáticas en un examen online, y la pregunta era sobre cuáles son los posibles valores de $x$ si el perímetro de alguna baldosa rectangular está entre $20$ cm y $54$ cm. Me preguntaba cómo podríamos encontrar los posibles valores de $x$ si el zona fue entre $20$ y $54$ cm.

Pensé que podríamos usar el análisis de signos para cada desigualdad, pero entendí que no funcionaría porque tendríamos diferentes desigualdades en cada parte y eso no tiene sentido.

La desigualdad se ve así: $20<2x^2+12x<54$

¿Cómo podríamos resolver inecuaciones cuadráticas con dos límites como éste?

Answer 1

Los valores de $x$ que verifican la desigualdad, verificarán las siguientes desigualdades al mismo tiempo: $$ \begin{array} 020<2x^2+12x, & 2x^2+12x<54\end{array} $$ Así que lo único que tenemos que hacer es trabajar con ambos y cruzaremos los espacios solución, obteniendo la solución de la desigualdad original. Empecemos por la primera: $$ 20<2x^2+12x \implies 0<(x+3+\sqrt{19}) ·(x+3-\sqrt{19}) \implies x>-3+\sqrt{19} \ \lor \ x<-3-\sqrt{19} $$ El segundo tendrá el siguiente resultado: $$ 2x^2+12x<54 \implies x^2+6x-27<0 \implies -9<x<3 $$ La intersección es toda la $x\in \mathbb{R}\ $ tal que: $$ -9<x<-3-\sqrt{19} \ \lor -3+\sqrt{19}<x<3 $$

Answer 2

Puedes resolverla dividiéndola en dos inecuaciones y resolviendo cada una por separado. Si empiezas por $20<2x^2+12x<54$ eso significa que necesitas que ambas cosas sean verdaderas:

1. $2x^2+12x-20 > 0$
2. $2x^2+12x-54 < 0$

La primera desigualdad cuadrática es cierta para $x<-3-\sqrt{19}$ o para $x > -3+\sqrt{19}$ . La segunda desigualdad cuadrática se cumple para $-9<x<3$ . Puedes llegar a estas soluciones graficando la cuadrática o usando la fórmula cuadrática, y luego verificando los signos, como mencionas en tu pregunta.

Combinando todo, necesitamos:

$$\left( x<-3-\sqrt{19} \ \cup \ x > -3+\sqrt{19} \right) \ \cap \ (-9<x<3) , $$

donde $\cup$ significa "o" y $\cap$ significa "y".

Entonces, $-3-\sqrt{19}\approx -7.4$ y $-3+\sqrt{19} \approx 1.4$ . Así, terminamos con el siguiente conjunto de valores:

$$ -9<x<-3-\sqrt{19} \ \cup \ -3+\sqrt{19}<x<3. $$

Si este último paso no tiene sentido y es difícil de visualizar, intenta trazar ambas desigualdades en una recta numérica, y dondequiera que ambas sean verdaderas, ésa es la solución.

Answer 3

Sugerencia :

Sólo tienes que resolver el sistema de desigualdades cuadráticas: \begin{cases} 2x^2+12x-20 >0,\\[0.5ex] 2x^2+12x-54<0. \end{cases} El primer polinomio cuadrático tiene raíces reales y su coeficiente principal es positivo, por lo que la primera desigualdad se cumple fuera del intervalo de las raíces.

El segundo polinomio cuadrático sí tiene raíces reales, por lo que tiene valores negativos en el intervalo de las raíces.