SI $\kappa$ es débilmente compacto, entonces $\kappa$ tiene la propiedad de árbol.

Question

Dejemos que $\kappa$ sea débilmente compacto, y que $(T, <_T)$ sea un árbol de altura $\kappa$ de manera que cada nivel de $T$ tiene tamaño $< \kappa$ . Supongamos que $T = \kappa$ . Ampliamos la ordenación parcial $<_T$ de $\kappa$ de la siguiente manera: si $\alpha <_T \beta$ y luego decir $\alpha \prec \beta$ . Si $\alpha, \beta$ son incomparables entonces dejemos que $\xi$ sea el primer nivel en el que los predecesores de $\alpha, \beta$ difieren, y si $\alpha_{\xi} < \beta_{\xi}$ en el orden habitual de $\kappa$ , digamos que $\alpha \prec \beta$ .

Definir $F: [\kappa]^2 \to \{ 0,1\}$ por $F(\{ \alpha, \beta\}) = 1$ si y sólo si $<$ y $\prec$ estar de acuerdo $\alpha, \beta$ . Supongamos que es onto y por compacidad débil existe un conjunto homogéneo $H \subseteq \kappa$ de tamaño $\kappa$ .

Definir un conjunto $B$ para ser la colección de todos los $x \in \kappa$ tal que $\{ \alpha \in H \mid x <_T \alpha\}$ tiene tamaño $\kappa$ . Mi pregunta es, ¿por qué hay un elemento de $B$ en todos los niveles de $T$ ? Tiene que ver con el hecho de que cada nivel de $T$ tiene tamaño $< \kappa$ pero no veo por qué. Cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Considere $\operatorname{Lev}_\eta(T)$ para algunos $\eta<\kappa$ . $$\left|\bigcup_{\xi\le\eta}\operatorname{Lev}_\xi(T)\right|<\kappa\;,$$ así que $H$ tiene $\kappa$ miembros por encima del nivel $\eta$ . Para $x\in\operatorname{Lev}_\eta(T)$ dejar $H(x)=\{y\in H:x<_T y\}$ . Entonces $$\left|\bigcup_{x\in\operatorname{Lev}_\eta(T)}H(x)\right|=\kappa\;,$$ y $|\operatorname{Lev}_\eta(T)|<\kappa$ , por lo que debe haber algún $x\in\operatorname{Lev}_\eta(T)$ con $|H(x)|=\kappa$ . Pero entonces $x\in B$ , según se desee.