Convergencia de esta serie

Question

De un viejo Putnam: Demuestra que si $(x_n)$ es una secuencia de números reales positivos, y $\sum{x_n}$ converge, entonces también lo hace $\sum{(x_n)^{\frac{n}{n+1}}}$.

Answer 1

Siguiendo la pista de sos440.

Para todo $x > 0$ y $n \in \Bbb N$, tenemos $$x^\frac{n}{n+1} \leq \max\left(2^{-n},2x\right)< 2x + 2^{-n}$$ De hecho:

• o bien $x \leq 2^{-(n+1)}$ y $x^\frac{n}{n+1} \leq 2^{-n}$,
• o $x > 2^{-(n+1)}$ y $x^\frac{n}{n+1} = x \times x^{-\frac{1}{n+1}} < 2x

Así que, $$\sum_{n=0}^\infty x_n^\frac{n}{n+1} < 2\sum_{n=0}^\infty x_n + \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} < \infty$$