Interpretación de la regresión cuando la variable y es una proporción

Question

Digamos que tengo una regresión de este tipo:

fracción de hombres mayores de 18 años encarcelados = a + blog(ingresos) +e, donde la unidad de observación es un condado.

¿la interpretación correcta sería que un aumento de 1 punto logarítmico de los ingresos (aumento del 100% de los ingresos) conduce a un cambio de b*100 puntos porcentuales en la fracción de hombres encarcelados? o ¿es un cambio de b puntos porcentuales?

Answer 1

Dado un modelo de regresión lineal $$E[y \vert x] = \alpha + \beta \cdot \ln(x),$$ la derivada parcial con respecto a $x$ es $$\frac{\partial y }{\partial x} = \beta \cdot \frac{1}{x}.$$ Resolver para $\beta$ , se obtiene $$ \beta = \frac{\partial y }{\partial x} \cdot x \approx \frac{\Delta y}{\Delta x/x}.$$

A menudo me resulta útil multiplicar el denominador por 100 para convertirlo en porcentaje, con lo que se obtiene

$$\frac{\beta}{100} \approx \frac{\Delta y}{100 \cdot\frac{\Delta x}{x}}.$$

El numerador es sólo un cambio en $y$ en niveles, y el denominador es el cambio porcentual en $x$ .

Para dar un ejemplo, si $\hat \beta=-0.5,$ lo que significa que un cambio de 1% en los ingresos se asocia con un $-.5/100=-.005$ disminución de la fracción de hombres adultos encarcelados. Se trata de un descenso de medio punto porcentual en la fracción de encarcelamiento.