Suma de dos movimientos brownianos geométricos correlacionados

Question

Supongamos que $S_1$ y $S_2$ son movimientos brownianos geométricos que satisfacen $$dS_1 = S_1[\mu_1 dt + \sigma_1 dX_1], \qquad dS_2 = S_2[\mu_2 dt + \sigma_2 dX_2],$$ donde $d\langle X_1, X_2\rangle = \rho$ . Se puede comprobar, utilizando el Lemma de Ito por ejemplo, que $P = (S_1+S_2)/2$ sigue el proceso $$dP = \frac12(dS_1 + dS_2) = \frac12(\mu_1S_1 + \mu_2S_2)dt + \frac12\sigma_1S_1 dX_1 + \frac12\sigma_2S_2 dX_2.$$ Esto me sorprende un poco, ya que habría pensado que la suma es también un GBM con los parámetros de volatilidad y media adecuados. Además, no hemos hecho ningún uso de la condición de correlación. Entonces, ¿es cierto que la suma de dos GBM correlacionados es un GBM? ¿Y para tres GBMs correlacionados (con los pesos sumando 1)?

Answer 1

Parece que una suma de GBMs no es un GBM.

Nótese que el GBM tiene incrementos lognormales, por lo que nuestra suma de GBMs correlacionados debe tener incrementos lognormales si es GBM. La respuesta a https://stats.stackexchange.com/questions/238529/the-sum-of-independent-lognormal-random-variables-appears-lognormal sugiere que las sumas de lognormales no son necesariamente lognormales, "ni siquiera para las lognormales i.d.".