Demuestra que $\dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$ es asintóticamente equivalente a $\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}$

Question

Problema

Demuestra que $\dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$ es asintóticamente equivalente a $\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}$ .

¿Puede alguien verificar mi intento de solución?

Solución

Funciones dadas $f(n)$ y $g(n)$ , $f(n)$ es asintóticamente equivalente a $g(n)$ si y sólo si:

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(n)}{g(n)}=1.$$

Dejemos que $f(n)=\dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$ y $g(n)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}$ .

Por la fórmula de Stirling, $n!$ puede expresarse como:

$$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n e^{\epsilon(n)}$$

donde

$$\dfrac{1}{12n+1}\leq\epsilon(n)\leq\dfrac{1}{12n}.$$

Así que, $f(n)$ puede reescribirse como

$$\begin{aligned} f(n)&=\dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\\ &=\dfrac{\sqrt{4\pi n}\left(\dfrac{2n}{e}\right)^{2n} e^{\epsilon(2n)}} {2^{2n} 2\pi n\left(\dfrac{n}{e}\right)^{2n} e^{2\epsilon(n)}}\\ &=\dfrac{2^{2n+1}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{2n} e^{\epsilon(2n)}} {2^{2n+1} \sqrt{\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{2n} e^{2\epsilon(n)}}\\ &=\dfrac{e^{\epsilon(2n)}}{ e^{2\epsilon(n)}\sqrt{\pi n}} \end{aligned}$$

Por lo tanto, ya que ambos $\epsilon(n)$ y $\epsilon(2n)$ acercarse a $0$ como $n\to\infty$ tenemos:

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{e^{\epsilon(2n)}}{ e^{2\epsilon(n)}\sqrt{\pi n}} \cdot \sqrt{\pi n}\right)=\lim_{n\to\infty} \dfrac{e^{\epsilon(2n)}}{ e^{2\epsilon(n)}}=\dfrac{\lim_{n\to\infty}e^{\epsilon(2n)}}{\lim_{n\to\infty}e^{2\epsilon(n)}}=1,$$

según sea necesario.

Answer 1

Está bien, pero sería más sencillo utilizar $n! \sim \sqrt{2\pi n} (n/e)^n$ lo que implica $$ (2n)! \sim \sqrt{4\pi n} (2n/e)^{2n}=2 \,\sqrt{\pi n} \,4^n (n/e)^{2n}$$

y $$ (n!)^2 \sim 2\pi n \, (n/e)^{2n}$$

Ahora

$$\begin{align} \dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}&= \frac{1}{4^n} \dfrac{(2n)!}{ 2 \,\sqrt{\pi n} \,4^n (n/e)^{2n}} \left(2 \,\sqrt{\pi n} \,4^n (n/e)^{2n}\right) \dfrac{2\pi n \, (n/e)^{2n}}{(n!)^2} \dfrac{1}{2\pi n \, (n/e)^{2n}}\\ &= \dfrac{(2n)!}{ 2 \,\sqrt{\pi n} \,4^n (n/e)^{2n}} \dfrac{2\pi n \, (n/e)^{2n}}{(n!)^2} \dfrac{1}{\sqrt{\pi n } }\\ \end{align}$$

donde las dos primeras fracciones tienden a $1$ como $n\to \infty$ . Por lo tanto,

$$ \lim_{n\to \infty} \dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \sqrt{\pi n }=1$$