Estoy tratando de construir un ejemplo del teorema orbital del estabilizador y tratando de entender por qué las acciones de grupo son importantes. Según entiendo, el estabilizador es también el centralizador. ¿Podría alguien explicarme qué es el $|\text{Stabilzer}(\mathbb{Z_6})|$ y lo que el $|\text{Orbital}(\mathbb{Z_6})|$ ? No he podido desentrañar las definiciones para que parezcan menos abstractas. Tengo un examen próximamente y sólo quiero entender estos materiales para sentirme más seguro.
Respuesta
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Que un grupo $G$ actuar en un conjunto $S$ y elige un elemento $s\in S$ para mirar. Hay dos conjuntos importantes que le informan sobre lo que $G$ hace a $s$ . $Stab_G(s)=\{x \in G : s\cdot x = s\}$ es el conjunto de elementos de $G$ que no hacen nada para $s$ - siempre que esos elementos actúen sobre $s$ , $s$ se queda donde está. (Recuerda, $Stab_G(s)$ se compone de elementos de $G$ y de hecho es un subgrupo de $G$ .) El otro conjunto es la órbita de $s$ , $\mathcal{O}_s=\{s^x : x \in G\}$ . Este es el conjunto de todos los lugares en $S$ que $s$ puede ser enviada al ser actuada por algún elemento de $G$ . (Así que, $\mathcal{O}_s$ se compone de elementos de $S$ .) Resulta que, $|Stab_G(s)|\cdot|\mathcal{O}_s|=|G|$ . Este post trata de por qué debería preocuparse por esta fórmula.
Ya estás familiarizado con los centralizadores, que son una buena motivación para las acciones de grupo: digamos que tienes algún elemento $g$ en tu grupo y quieres saber todo lo que conmuta con ese elemento. Usted mira a $C_G(g)=\{x \in G : gx = xg\}$ . Podemos reescribir esa condición como $x^{-1}gx=g$ o $g^x=g$ (así es como los teóricos del grupo escriben la conjugación).
Otra forma de ver $C_G(g)$ es decir, que $G$ actuar $G$ por conjugación. La acción es $g \cdot x = g^x$ y como se trata de una acción de grupo tan comúnmente utilizada, le damos un nombre especial a $Stab_G(g)=\{x \in G : g^x = g\}$ - es $C_G(g)$ .
Pero hay otras buenas acciones de grupo por ahí.
Digamos que dejas $G$ actúan sobre el conjunto de todos los subgrupos de $G$ por conjugación (es decir, $H\cdot g = H^g = \{h^g : h \in H\}$ ). Bajo esta acción, que llamaré "conjugación de subgrupos" $Stab_G(H)=\{x \in G : H^x = H\}$ . Esta acción también es bastante común, así que de nuevo tenemos un nombre especial para el estabilizador: el "normalizador" de $H$ , escrito $N_G(H)$ . Puedes ver que esto funciona exactamente igual que el centralizador; es sólo un estabilizador para una acción de grupo diferente.
¿Cuál es la órbita de $H$ bajo la conjugación de subgrupos? Es todo subgrupo $K$ de $G$ para que $H^x=K$ para algunos $x\in G$ - la subgrupos conjugados de $H$ en $G$ . Con el teorema de la órbita-estabilizadora, se puede saber inmediatamente cuántas hay: $|\mathcal{O}_H|=|G|/|Stab_G(H)|=|G|/|N_g(H)|=[G:N_G(H)]$ .
Ahora pregúntese, cuál es el tamaño de la clase de conjugación de un elemento $g\in G$ ? Si puedes responder a esta pregunta aplicando la misma lógica que he aplicado al hablar de la conjugación de subgrupos, entenderás por qué las acciones de grupo pueden hacer que ciertas preguntas sean muy intuitivas.
Aquí hay un par de cosas más en las que pensar.
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¿Qué significa que $|\mathcal{O}_H|=1$ bajo la acción de conjugación de subgrupos?
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¿Cómo describiría los elementos $g\in G$ con $|\mathcal{O}_g|=1$ bajo la acción de conjugación de $G$ en sí mismo?
Las cosas que hay que tener en cuenta a medida que se avanza en la teoría de grupos son, ¿cómo un grupo de factores $G/N$ actúan sobre un subgrupo normal $N$ ? ¿Puedo utilizar el estabilizador de órbita con reglas de divisibilidad / congruencias? Tal vez lo más importante, ¿puedo encontrar una manera de demostrar que un grupo que actúa sobre algún conjunto debe dar lugar a algo con tamaño de órbita 1 (un "punto fijo")?
