Cómo probar para $s<1,|a+b|^s\le|a|^s+|b|^s$

Question

Cómo probar para $s<1$$$ |a+b|^s|le|a|^s+|b|^s $$ I tried to prove $ |a+b|\le (|a|^s+|b|^s)^{\frac{1}{s}} $, but $ \frac{1}{s}$ puede no ser entero, por lo que no sé cómo expandirlo si no es entero.

¿Es la forma correcta de demostrarlo tratando de expandirlo usando la expansión binomial? ¿Cómo demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

Para que sea positivo $a,b$ y $s \in (0,1)$ $$ a^s +b^s = s\left(\int_0^a x^{s-1}dx+\int_0^b x^{s-1}dx \right) \\ \ge s\left(\int_0^a x^{s-1}dx+\int_0^b (x+a)^{s-1}dx \right) \\ = s\left(\int_0^a x^{s-1}dx+\int_a^{a+b} x^{s-1}dx \right) \\ = s\left(\int_0^{a+b}x^{s-1}dx \right) \\ = (a+b)^s $$

Answer 2

Sugerencia: Considere la función $f(x)=(1+x)^s-1-x^s$ para $x\geq 0$