Consejo: el Álgebra y la categoría de la teoría de la geometría?

Question

Estoy interesado en aprender un poco de geometría. Para empezar estoy (lentamente) trabajando mi camino hacia la geometría diferencial a través de Lee Introducción para Suavizar los Colectores. Pero, más tarde, también me gustaría estudiar algo (real) de la geometría algebraica (tengo interés en cómo interactúa con la optimización).

Tengo un poco justo de la exposición a análisis (real/complejo/funcional, topología, teoría de la medida, la teoría de la probabilidad, la optimización, ecuaciones en derivadas parciales, los procesos estocásticos, etc.) pero prácticamente ninguno álgebra (sólo álgebra lineal) o de la categoría de teoría.

Último trimestre asistí a parte de un curso de introducción a la fluidez de los colectores (no pude terminarlo porque muchas cosas se estaban realizando al mismo tiempo). En ella el profesor ocasional discuten los conceptos de álgebra (por ejemplo, grupos) y a la categoría de teoría (por ejemplo, propiedades universales) y yo sentía que me estaba perdiendo.

Para rectificar esto, he estado leyendo Conceptual de las Matemáticas: Una primera introducción a las categorías por Lawrence y Schanuel. Sin embargo, he encontrado este mo post que me preocupaba que me podría estar pasando en este al revés.

Así que mis preguntas son:

• Con el objetivo de adquirir un conocimiento de trabajo de los diferenciales y geometría algebraica, cuánto álgebra y/o categoría de teoría debería saber?

• ¿Qué referencias recomendaría usted para lograr lo anterior, es Lawrence y Schanuel el libro de un buen comienzo? Incluso si es así, ¿qué más se puede recomendar?

Answer 1

La respuesta corta es: depende. Para hacer geometría diferencial usted realmente no necesita categoría de la teoría del todo, y al igual que en (casi) se puede decir de algunos de los sabores de la geometría algebraica. Dicho esto, algunas personas (yo incluido) aprender mejor las cosas desde un punto de vista categórico. Si te emocionas cada vez que la gente menciona propiedades universales, y son más felices definir las cosas en términos de un functor que ellos representan, a continuación, comenzando con algunos categoría de teoría, puede ser una buena cosa para usted. En ese caso, yo recomendaría el trabajo a través de los primeros capítulos de las clásicas Categorías para el trabajo matemático. En particular, desea una sólida comprensión de los límites, adjunto functors, y la relación entre los dos.

Ahora, si no sé ni por grupo de teoría, sin embargo, comenzando con la categoría de la teoría es una mala idea. Sería mejor empezar con algo de álgebra abstracta, utilizando uno de los textos estándar.

Puede ser que usted es más normal matemático para quien "las categorías primera" o "álgebra primera" no es una buena idea. En este caso, si usted está interesado en la geometría diferencial, la mejor cosa a hacer sería aprender la geometría diferencial, y sólo pasar el tiempo en otros temas como necesario.

La geometría algebraica puede ser casi completamente no categórico, o hyper-categórica dependiendo de lo que usted está interesado en hacer. Cuánto categoría de la teoría que se necesita saber depende principalmente de sus propios gustos en la geometría algebraica.