Demostrar que $(f_n)$ es una secuencia de Cauchy, pero que no converge respecto a $N_1$ a un elemento de $C[0,1].$

Question

Dejemos que $C[0,1]$ sea el espacio lineal de las funciones continuas, y defina una norma como $N_1 = \int |f|d\mu.$ (una integral de Riemann). Sea $$f_n(x) = \begin{cases} 0, & \text{if $0 \leq x \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2n}$} \\ \text{a linear function}, & \text{if $\frac{1}{2} - \frac{1}{2n} \leq x \leq \frac{1}{2}$} \\ 1, & \text{if $\frac{1}{2} \leq x$} \end{cases}$$ Demostrar que $(f_n)$ es una secuencia de Cauchy, pero que no converge respecto a $N_1$ a un elemento de $C[0,1].$

Cuando tengo una secuencia de funciones, como $f(x) = x + \frac{1}{n},$ es muy directo para tomar el límite. Pero en el caso del problema, el $n$ sólo se encuentra en el dominio. ¿Cómo interpreto esto?

Como $\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2n}}= \frac{1}{2},$ Veo que $f(x)$ puede convertirse en $$f(x) = \begin{cases} 0, & \text{if $0 \leq x < \frac{1}{2}$} \\ 1, & \text{if $\frac{1}{2} \leq x$} \end{cases},$$ que es una función no continua, por lo que es cierto que $f \notin C[0,1].$ Y, como $f$ es una función uniformemente acotada, por el teorema de convergencia dominante, $\int fd\mu = \lim_{n \to \infty}\int|f_n|d\mu$ .

Porque el $f_n$ son continuos, entonces $\lim_{n \to \infty}\int|f_n|d\mu = \int\lim_{n \to \infty}|f_n|d\mu,$ y el lado derecho de la igualdad es lo que interpreté como "tomar el límite en el dominio de $f_n.$ " De esto concluí que $(f_n)$ converge a un elemento que no está en $C[0,1],$ con respecto a $N_1.$ ¿Es un razonamiento correcto o no?

Estoy más atascado en probar que $(f_n)$ es uniformemente Cauchy. En el lado izquierdo de la función, cerca de $f(\frac{1}{2} - \frac{1}{2n}),$ $f_n - f_m = 0,$ por lo que la integral es $0,$ que es lo que tengo que mostrar. Mientras que en el RHS cerca de $f(\frac{1}{2} - \frac{1}{2n})$ Veo cómo se mueven las funciones, pero no sé cómo expresarlo con épsilon. No estoy siendo capaz de aplicar la definición para demostrarlo, y no tengo ni idea de qué hacer.

Answer 1

Tenga en cuenta que el límite en el $N_1$ sentido no tiene por qué ser un límite puntual. Por ejemplo, si tuviéramos $f_n(x)=\max\{0,1-nx\}$ en su lugar, entonces $f_n\to 0$ en relación con $N_1$ pero el límite puntual no es continuo. Por lo tanto, es necesario un paso más para demostrar que no hay $N_1$ -límite de la secuencia $\{f_n\}$ del enunciado del problema. Pero para ello no basta con comentar que cualquier continuo $f$ difiere del límite puntual tanto como para garantizar un resultado positivo $N_1$ -distancia de la misma.

Que $\{f_n\}$ es una secuencia de Cauchy, no es tan difícil: Si $n,m>N$ entonces $f_n$ y $f_m$ difieren como máximo en el intervalo $[\frac12-\frac1{2N},\frac12]$ y difieren como máximo en $1$ allí, haciendo así $\int |f_n-f_m|\,\mathrm d\mu\le\frac1{2N}$

Answer 2

Tome $m,n,p\in\mathbb N$ con $m,n\geqslant p$ . Entonces ambos $f_m$ y $f_n$ son nulos fuera de $\left[\frac12-\frac1{2p},\frac12+\frac1{2p}\right]$ y ambos toman valores entre $0$ y $1$ con ese intervalo. Así que, $$N_1(f_m,f_n)=\int_{\frac12-\frac1{2p}}^{\frac12+\frac1{2p}}|f_m-f_n|\leqslant\frac2p.$$ Por lo tanto, dado $\varepsilon>0$ , sólo tienes que tomar $p\in\mathbb N$ tal que $\frac2p<\varepsilon$ .

Si $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ converge a algún $f\in C\bigl([0,1]\bigr)$ , dejemos que $x_0\in[0,1]$ . Si $x_0<\frac12$ entonces $f(x_0)=0$ . De hecho, si $f(x_0)>0$ entonces $f(x)>0$ en algún entero $(x_0,-\delta,x_0+\delta)$ con $x_0+\delta<\frac12$ . Tome $n\in\mathbb N$ tal que $\frac12-\frac1{2n}>x_0+\delta$ . Entonces $N_1(f_n,f)\geqslant\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}\bigl|f(x)\bigr|\,\mathrm dx>0$ . Esto contradice el hecho de que $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ converge a $f$ . Con el mismo argumento, $f(x)=1$ cuando $x>\frac12$ . Pero no hay ninguna función continua $f$ con $f(x)=0$ es $x<\frac12$ y $f(x)=1$ si $x>\frac12$ .