Distancia media entre dos puntos de un disco circular

Question

¿Cómo puedo hallar la distancia media entre dos puntos situados en el interior de un disco circular de radio determinado?

Me pregunto si hay otra forma de hacerlo que no sea utilizando el método de Montecarlo.

Answer 1

Véase la respuesta a este pregunta. La distancia esperada es $$ d= {128 r\over 45\pi}. $$

Aquí es otra demostración de este resultado.

Answer 2

Siguiendo a Grimmett & Stirzaker 's "Mil ejercicios de probabilidad", podemos aproximarnos de esta manera:

Sea $ f(r) := E \rho $ donde $\rho $ es la distancia entre los puntos P1 y P2 que están distribuidos de manera independiente y uniforme en el disco $D$ de un radio $r$ .

Consideremos el problema para el disco de radio $r + h$ por poco $h$ . Si los puntos se distribuyen en un disco $D_h$ de un radio $r + h$ : $$ P\{P1 \in D, P2 \in D \} = (\frac{\pi r^2}{\pi (r+h)^2})^2 = 1 - \frac{4 h}{r} + o(h) $$ $$ P\{P1 \in D, P2 \in D_h \backslash D \} = (\frac{\pi r^2}{\pi (r+h)^2})(1 - \frac{\pi r^2}{\pi (r+h)^2}) = \frac{2 h}{r} + o(h) $$ Y por último: $$ P\{P1 \in D_h \backslash D, P2 \in D_h \backslash D \} = o(h) $$

Ahora reescribamos $ f(r+h) $ utilizando la expectativa condicional: $$ f(r+h) = E \rho = E(\rho 1_{P1 \in D, P2 \in D}) + 2 E(\rho 1_{P1 \in D, P2 \in D_h \backslash D}) + o(h) $$

Es fácil ver que $$ \frac{E(\rho 1_{P1 \in D, P2 \in D})}{P\{P1 \in D, P2 \in D \}} = f(r) $$ $$ E(\rho 1_{P1 \in D, P2 \in D}) = f(r)(1 - \frac{4 h}{r} + o(h)) $$

Y también podemos reescribir $$ E(\rho 1_{P1 \in D, P2 \in D_h \backslash D}) = \frac{E(\rho 1_{P1 \in D, P2 \in D_h \backslash D})}{P\{P1 \in D, P2 \in D_h \backslash D \} } (\frac{2 h}{r} + o(h)) $$ En el que $\frac{E(\rho 1_{P1 \in D, P2 \in D_h \backslash D})}{P\{P1 \in D, P2 \in D_h \backslash D \} } $ es exacta (con ac. $o(h)$ ) distancia media entre puntos del disco de radio $r$ y en el borde. Lo cual es fácil de calcular en coordenadas polares con el centro en el borde del disco. $$ \frac{1}{\pi r^2} \int^{\pi/2}_{-\pi/2} \int^{2r cos(\phi)}_{0} s^2 ds d\phi = \frac{32 r}{9 \pi} + o(h) $$

Así que tenemos: $$ f(r + h) = f(r)(1 - \frac{4 h}{r} + o(h)) + 2 (\frac{32 r}{9 \pi} + o(h))(\frac{2 h}{r} + o(h)) $$ $$ f(r+h) - f(r) = - \frac{4 h}{r} f(r) + \frac{128 h}{9 \pi} + o(h)*... $$ $$ f'(r) = - \frac{4}{r} f(r) + \frac{128}{9 \pi} + o(1) $$ Con $f(0) = 0$ obtenemos: $$ E \rho = f(r) = \frac{128 r}{45 \pi} $$

Algunas notas sobre la integral: esquema de discos en geogebra

punto F -- es el punto en el disco,

punto C -- es el punto del borde,

distancia entre ellos es $s$ , el ángulo entre Ox y CF es $\phi$ .

Y como transformamos las coordenadas a polares, debemos multiplicar por el determinante de la matriz jacobiana, que es $s$ .

Y finalmente $ \frac{1}{\pi r^2}$ es la densidad del punto en el disco.

Answer 3

Con la densidad de probabilidad puedes hallar la media de la distancia, o la distancia al cuadrado, o la varianza de la distancia, o lo que quieras. La densidad de probabilidad de la distancia $l$ entre puntos de un círculo de radio $r$ viene dada por Ricardo García-Pelayo 2005 J. Phys. A: Math. Gen. 38 3475 como $$p(l)=\frac{4l}{\pi r^2}\arccos \frac{l}{2r}-\frac{2l^2}{\pi r^4}\sqrt{r^2-\frac{l^2}{4}}$$

Entonces la distancia media viene dada por $$\int_0^{2r}lp(l)dl=\frac{128r}{45\pi}.$$ La media de la distancia al cuadrado viene dada por $\int_0^{2r}l^2p(l)dl=r^2.$ Así, la desviación típica viene dada por $$\sqrt{\int_0^{2r}(l-\frac{128r}{45\pi})^2p(l)dl}=\sqrt{r^2-\left( \frac{128r}{45\pi} \right)^2}=\frac{r\sqrt{2025\pi^2-2^{14}}}{45\pi}$$

Answer 4

Sea $D$ sea el disco, y sea $$M = \iint\limits_{(x_0,y_0)\in D} ~~\iint\limits_{(x,y) \in D}dxdydx_0dy_0.$$

Entonces la cantidad buscada debería venir dada por $$ \frac{1}{M}\iint\limits_{(x_0,y_0)\in D} ~~\iint\limits_{(x,y) \in D} \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}dxdydx_0dy_0 $$ donde probablemente sería útil un cambio adecuado a coordenadas polares en ambas integrales dobles.