Mostrar $\int _{\mathbb{R}}[F(x+c) - F(x)] dx =0 $ es incorrecto Prueba

Question

$F$ es la FCD (función de distribución de la probabilidad)

$\int _{\mathbb{R}}[F(x+c) - F(x)] dx $

$= \int _{\mathbb{R}}F(x+c) dx -\int _{\mathbb{R}} F(x) dx$ ( (por linealidad de la integral)

$=\int _{\mathbb{R}}F(x) dx -\int _{\mathbb{R}}F(x) dx $ ( Por el teorema del cambio de variables )

$=0$

Para el cambio de variables utilizamos el conocido teorema (ver más abajo) con $\Omega = \Omega' = \mathbb{R} $ , $T(x) = x + c $ y $ \mu= \lambda$ ( medida de Lebesgue)

Pregunta: ¿Por qué la prueba anterior es incorrecta? ¿Cómo podemos demostrar que no es correcta analíticamente?

Mi pensamiento:

No estoy seguro de cómo mostrarlo, tal vez porque la densidad no existe? (Incluso la suposición de continuidad no implicaría la existencia de la densidad) (por ejemplo, la función de Cantor es una FCD continua que no tiene una densidad con respecto a la medida de Lebesgue)

Below is the known Theorem that we used 

¿Por qué la prueba anterior es errónea?

En otras palabras, ¿por qué este paso $=\int _{\mathbb{R}}F(x) dx -\int _{\mathbb{R}}F(x) > dx $ ( Por el teorema del cambio de variables ) ¿Incorrecto?
Utilizamos el teorema del cambio de variable (ver arriba) con $\Omega = \Omega' = \mathbb{R} $ , $T(x) = x + c $ y $ \mu= \lambda$ ( medida de Lebesgue)

Answer 1

Para cualquier FCD $F$ tenemos $\int_{\mathbb R} F(x)dx=\infty$ . Esto se debe a que $F(x) \to 1$ como $ x \to \infty$ . Si elegimos $a$ tal que $F(x)>\frac 1 2$ para todos $x >a$ entonces obtenemos $\int_{\mathbb R} F(x)dx \geq \int_a^{\infty} \frac 1 2 dx=\infty$ . Así que dividiendo la integral en dos términos se obtiene $\infty-\infty$ .

Para un ejemplo en el que la integral no es $0$ considere $exp(1)$ distribución y toma $c=1$ Se puede calcular fácilmente la integral en este caso y la respuesta no es $0$ .

En realidad el valor de la integral es $c$ . Sea $\mu$ la medida de probabilidad correspondiente a $F$ . Entonces (por el Teorema de Fubini/Tonelli) $\int_{\mathbb R} [F(x+c)-F(x)]dx=\int_{\mathbb R} \int_{(x,x+c]} d\mu(y)dx=\int \int_{y-c}^{c}dx d\mu (y)=\int c d\mu(y)=c$ .

Answer 2

Desde $F$ es un CDF, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=1$ . Por lo tanto, la integral $\int_{\mathbb{R}}F(x)\,\mathrm{d}x$ diverge. Cuando se obtiene la expresión $$\int _{\mathbb{R}}F(x+c)\, \mathrm{d}x -\int _{\mathbb{R}} F(x)\, \mathrm{d}x$$ esto se convierte en $\infty-\infty$ que es una forma indeterminada, por lo que no se puede simplificar a $0$ .

En cuanto a la forma de evaluar correctamente esta integral, hay una forma sencilla de hacerlo utilizando Teorema de Fubini .