Prueba por inducción de que $3^{2n} + 7$ es divisible por $4$

Question

Demostrar por inducción: $3^{2n} + 7 = 4k$ es verdadera, para cualquier $n\in \mathbb N$ . Tengo que demostrarlo utilizando el principio de inducción.

Hasta ahora lo he hecho:

$n = 1$

$$3^{2\cdot 1} + 7 = 4\cdot k $$ $$9 + 7 = 4k$$ $$16 = 4k$$ $$k = 4$$

Por lo tanto, comprueba $n=1$ .

$n = h$

$$3^{2\cdot h} + 7 = 4\cdot k$$

$n = h +1$

$$3^{2\cdot (h + 1)} + 7 = 4\cdot k'$$

(Yo uso $k'$ para señalar que no es lo mismo $k$ como en $n = h$ )

Y no sé cómo continuar.

Answer 1

Tenga cuidado de no suponer lo que está tratando de probar. Después de la hipótesis de inducción, es decir, $$3^{2h} + 7 = 4k \quad \textrm{for some } k,\tag1$$ no se puede saltar a $$3^{2(h+1)} + 7 = 4k' \quad \textrm{for some } k',\tag2$$ porque eso es lo que debes probar . En su lugar, comience con sólo el lado izquierdo de $(2)$ y manipularlo para que pueda utilizar lo que sabe de la hipótesis en $(1)$ : $$ \begin{align} 3^{2(h+1)} + 7 &= 3^{2h+2} + 7\\ &= 3^2 3^{2h} + 7\\ &= 9\cdot 3^{2h} + 7\\ &= 8\cdot 3^{2h} + \color{maroon}{3^{2h} + 7}\\ \end{align}$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Has mostrado para n=1 que es el primer paso así que

Answer 3

Sólo para llevar la contraria, aquí hay una prueba de no inducción.

$\begin{array}\\ 3^{2n}+7 &=3^{2n}-1+8\\ &= (3^n+1)(3^n-1)+8 \end{array} $

Desde $3^n$ es impar (para $n \ge 1$ ), $3^n-1$ y $3^n+1$ son números pares consecutivos, por lo que uno es exactamente divisible por $2$ y la otra es divisible por (como mínimo) $4$ .

Por lo tanto, su producto es divisible por al menos 8, así que $3^{2n}+7$ es divisible por 8.

Answer 4

Observe que $3^{2n} = 9^n = (9^n-1^n) + 1 = 8\cdot(...)+1=0+1 =1\pmod 4$ y $7 = 3 \pmod 4$ Por lo tanto $3^{2n} + 7 = 1+3 = 4 = 0 \pmod 4$ .

Answer 5

Daré una prueba con congruencias: como $3^2\equiv 1\mod8$ , $$3^{2^n}+7=(3^2)^n+7\equiv 1^n+7\equiv 0\mod 8.$$ A fortiori , $\;3^{2^n}+7\equiv 0\mod 4$ .