¿Tiene una función definida a trozos racional/irracional un límite en su integral?

Question

$$f(x)= \left\{\begin{array}{ll} x/3 &\mbox{if $x$ is rational,}\\ x/2 &\mbox{if $x$ is irrational.} \end{array}\right.$$

Supongamos que $f$ es mi función, ¿puedo decir que la integral de esta función entre $0$ y cualquier número positivo es mayor que la integral de $x/3$ ? Quiero una buena razón por la que no puedo poner un límite inferior a esta integral si la respuesta es no, ya que claramente parece tener un límite superior e inferior.

Answer 1

Quiero una buena razón por la que no puedo poner un límite inferior a esta integral si la respuesta es no, ya que claramente parece tener un límite superior e inferior.

La razón es que hay es no hay tal integral (de Riemann). Como todo intervalo tiene tanto números racionales como irracionales en él, sabemos \begin{align*} U(f,P) &= U(x/2,P) \\ L(f,P) &= L(x/3,P) \end{align*} para cada partición $P$ de un intervalo $[a,b]$ . Por lo tanto, \begin{align*} \inf_P U(f,P) = \inf_P U(x/2,P) = \int_a^b (x/3)\,dx \\ \sup_P L(f,P) = \sup_P L(x/3,P) = \int_a^b (x/2)\,dx \end{align*} Ya que los dos de la derecha son diferentes, $f$ no es integrable en $[a,b]$ .

@sranthrop señala que hay una respuesta diferente cuando se utiliza la integral de Lebesgue. En esa teoría podemos dividir conjuntos en subconjuntos que no son intervalos. Por ejemplo, el intervalo $[a,b]$ puede dividirse en los elementos racionales (llamemos a este conjunto $E$ ) y elementos irracionales ( $E'$ ). Dado que $E$ es de medida cero, $$ \int\limits_{[a,b]} f\,d\mu = \int\limits_E f\,d\mu + \int\limits_{E'} f\,d\mu = \int\limits_{E'} f\,d\mu = \int_a^b (x/2)\,dx $$