Voy a tirar un par de palabras de moda :-)
La matemática precisa del concepto de "infinitesimal" se denomina "diferencial de la forma". Si se corrige el plano Euclidiano $\mathbb{R}^2$ y piensa en ello como una "variedad diferenciable", entonces cada punto en el plano tiene un espacio tangenciales que es "isomorph a" (u otra copia de) $\mathbb{R}^2$. Si queremos además de fijar un sistema de coordenadas cartesianas con coordenadas x y y, a continuación, un diferencial de la forma es un gadget que asigna a cada punto p con coordenadas $(x_p, y_p)$ a un vector tangente en ese punto un número real.
Si usted piensa de asociar un vector que apunta hacia arriba con la longitud de a, (0, 1), en cada punto en el plano, a continuación, en nuestro ejemplo dx escupir 0 en cada punto y dy iba a escupir 1 en cada punto.
Este es el punto de partida para los modernos abstractos "coordinar" libre de la geometría diferencial.
Desde mi experiencia, estos conceptos no son generalmente fáciles de entender para los principiantes, así que no te preocupes si no entiendes todo lo que en una primera lectura.
La primera nota que usted no necesita el concepto de un "diferencial de la forma" para entender su primer ejemplo:
Tome un rectángulo con longitudes de lados a y b, entonces tenemos una función que da a la zona,
$$
f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}
$$
$$
f: (a, b) \mapsto ab
$$
Si aumentan las coordenadas de h, entonces esto es solo una derivada direccional, y desde $f$ es diferenciable sabemos que
$$
f(a + h, b + h) - f(a, b) = df*(h, h) + o(h^2)
$$
sostiene. Aquí "dx" es el resumen de la notación para los dos "h" y "sabemos que f es derivable y por lo tanto que el resto de la mano derecha es $o(h^2)$, que es más pequeño y más pequeño h la aproximación lineal se pone mejor y mejor". La aproximación lineal es, por definición, dada por la aplicación de la diferencial de $df$ $f$ a el vector $(h, h)$.
El segundo ejemplo es un poco más complicado, aquí vamos a realmente necesita el concepto de "formas diferenciales". Para ser matemáticamente precisos, tendríamos que escribir
$$
ds^2 := dx \otimes dx + dy \otimes dy
$$
Es decir, el lado izquierdo es definido por el lado derecho y el lado derecho se compone de un punto fijo de elementos del producto tensor de la cotangential espacio de $T^*_pM$ con sí mismo.
Esto significa que este gadget se come dos vectores tangenciales en cualquier espacio de la tangente y escupe un número real, y esta operación es bilineal (lineal en ambas variables de entrada). Por lo tanto, si se fija un punto en el plano, se obtiene un elemento del espacio
$$
T^*_pM \otimes T^*_pM
$$
que tiene una estructura algebraica que se puede utilizar.
Si a usted le gustaría aprender más acerca de esto, me gustaría recomendar cualquier libro de texto sobre la geometría diferencial o diferenciable colectores.
