Es cierto que, para $n$ lo suficientemente grande, $p_n(x)$ se tienen distintas raíces reales, que voy a probar por inducción sobre $m$.
Antes de continuar con la prueba, permítanme en primer lugar el estado de lo que se muestra sobre el comportamiento de $p_n$ $$ n aumenta. Suponiendo que el coeficiente inicial es positivo, $p_n^{(m-2)}$ son cuadráticas con una única mínimo. Como $$ n aumenta, el mínimo disminuye monótonamente hasta que se convierte en negativo, en la que el punto de $p_n^{(m-2)}$ tiene distintas raíces reales. Entonces, $p_n^{(m-3)}$ es un cúbicos, con un máximo y un mínimo local. Como $n$ aumenta aún más, el máximo local aumenta hasta que es positivo y el mínimo local disminuye hasta que es negativa, en la que el punto de $p_n^{(m-3)}$ tiene distintas raíces reales. Más en general, por cada $k=0,1,2,\ldots,m-2$, una vez $p_n^{(k+1)}$ tiene distintas raíces reales, entonces $p_n^{(k)}$ tiene $m-k-1$ extremos locales. Además el aumento de $n$, el local maxima crece monotónicamente hasta que son positivos y los mínimos locales disminuir hasta que son negativos, en la que el punto de $p_n^{(k)}$ tiene distintas raíces reales. Por inducción, a continuación,, $p_n$ eventualmente tiene distintas raíces reales.
Ahora, para continuar con la prueba.
Por $m=1$, $p_n(x)$ es de primer orden por lo que siempre tiene una raíz real.
Por $m > 1$, ahora supongamos que la afirmación que se sostiene para los polinomios de grado m $-1$. A continuación, la configuración de $q_n(x)=p_n^\prime(x)$, tenemos $q_n(x)=q_{n-1}(x)+q_{n-1}^\prime(x)$. Por la hipótesis de inducción, $q_n(x)$ ha $m-1$ distintas raíces reales para todos lo suficientemente grande como $n$. Voy a indicar estos por $a_{n,1} > a_{n,2} > \cdots > a_{n,m-1}$. Estos son los puntos de inflexión de $p_n(x)$. Te voy a mostrar que los grandes $n$, los signos de $p_n(a_{n,1}),p_n(a_{n,2}),p_n(a_{n,3}),\ldots$ alternados, del que se desprende que $p_n$ ha $m$ distintas raíces.
Por la escala, asumimos wlog que $p_n(x)$ tiene coeficiente inicial de $1 usd (es decir, es monic). Entonces, $q_n$ es positivo en $(a_{n,1},\infty)$, negativo en $(a_{n,2},a_{n,1})$, positivo en $(a_{n,3},a_{n,2}))$, etc.
Tenga en cuenta que $a_{n,i}$ es un máximo local de $(-1)^ip_n(x)$ (por cada $i=1,2,\ldots,m-1$). Esto significa que
$$
(-1)^ip_n(a_{n,i}+h)=(-1)^ip_n(a_{n,i})-ch^{2r}+O(h^{2r+1})
$$
para algunos positivo de $c$ y entero positivo $r$. Así,
$$
(-1)^ip_{n+1}^\prime(a_{n,i}+h)=-c(2r)(2r-1)h^{2(r-1)}+O(h^{2r-1}).
$$
Esto muestra que $(-1)^ip_{n+1}(x)$ es la disminución en un barrio de $a_{n,i}$.
Ahora, por $i=1,2,\ldots,m-2$, vemos que $(-1)^ip_{n+1}(x)$ es el aumento en $a_{n,i+1}$ y la disminución en $a_{n,i}$. Por lo tanto, tiene un máximo local en $(a_{n,i+1},a_{n,i})$, lo que vamos a denotar por $b_{i}$, entonces $a_{n,i+1} < b_i < a_{n,i}$ y $(-1)^ip_{n+1}(b_i) > (-1)^ip_{n+1}(a_{n-i})$. Del mismo modo, $(-1)^{m-1}p_{n+1}(x)$ es la disminución en $a_{n,m-1}$ y $p_{n+1}$ es monic de grado $m$), que tiende a $-\infty$ $x\a\infty$. Por lo tanto, tiene un máximo local, $b_{m-1}$ en el intervalo $(-\infty,a_{n,m-1})$. Así, $b_{m-1} < a_{n,m-1}$ y $(-1)^ip_{n+1}(b_{m-1}) > (-1)^ip_{n+1}(a_{n,m-1})$. Como $b_1 > b_2 > \cdots > b_{m-1}$ son las raíces de $p_{n+1}^\prime(x)$, tenemos $a_{n+1,i}=b_i$.
Hasta ahora, hemos demostrado que
$$
a_{n,1} > a_{n+1,1} > a_{n,2} > a_{n+1,2} > a_{n,3} > \cdots > a_{n,m-1} > a_{n+1,m-1}
$$
y, para cada i$$, $(-1)^ip(a_{n,i})$ es estrictamente creciente en $n$. Si, para cada uno de ellos fijo $i$, se puede demostrar que hay un $\epsilon > 0$ $(-1)^ip_{n+1}(a_{n+1,i})\ge(-1)^ip_n(a_{n,i})+\epsilon$ para todo $gran$ n, entonces, por $$ n suficientemente grande, $(-1)^ip_n(a_{n,i})$, será positiva. Así, los signos de $p_n(a_{n,1}),p_n(a_{n,2}),\ldots$ se alternan en signo y hemos terminado. Vamos a proceder por la contradicción y suponemos que, al contrario, $(-1)^ip_{n+1}(a_{n+1,i})< (-1)^ip_n(a_{n,i})+\epsilon$ (por lo suficientemente pequeño como $\epsilon$ esto le dará una contradicción, independientemente de $n$).
Si $i < m-1$ entonces $(-1)^ip_{n+1}(x)\le(-1)^ip_{n+1}(a_{n+1,i})$ en $(a_{n,i+1},a_{n,i})$. La configuración de $a_{n,m}=-\infty$, entonces esto también se aplica para $i=m-1$. Por la asunción, $(-1)^ip_{n+1}(x)\le(-1)^ip_{n} a_{n,i})+\epsilon$ en este rango, la configuración de $f(x)=(-1)^i(p_n(a_{n,i})-p_{n}(x))\ge0$,
$$
f(x)+f^\prime(x)=(-1)^i(p_n(a_{n,i})-p_{n+1}(x))\ge-\epsilon.
$$
Por lo tanto,
$$
f(x)=-\int_x^{a_{n,i}}\frac{d}{dy} e^{y-x}f(y))dy
=-\int_x^{a_{n,i}}e^{y-x}(f(y)+f^\prime(y))dy\le\epsilon\int_x^{a_{n,i}}e^{y-x}dy=\epsilon(e^{a_{n,i}-x}-1).
$$
Esto muestra que en el rango de $(a_{n,i+1},a_{n,i})$,
\begin{align}
\lvert p_{n}(x)-p_n(a_{n,i})\rvert\le\epsilon(e^{a_{n,i}-x}-1).&&{\rm(1)}
\end{align}
Así, $p_n$ es casi constante para $\epsilon$ pequeños. Necesitaremos el siguiente lema, que voy a probar en un momento.
Lema: Dejar que $p$ ser un monic polynominal de grado $m\ge1$. Luego, por cada $a < b$ tenemos
$$
sup_{x\in(a,b)}\lvert p(x)-p(b)\rvert\ge L(b-a)^m.
$$
donde $L$ es una constante que depende solamente $m$.
Podemos aplicar esto a (1). Para el caso $i=m-1$ y $K>0$, se aplican para el intervalo $[a_{n,m-1}-K,a_{n,m-1}]$ para obtener
$$
\epsilon(e^K-1)\ge L K^{m}
$$
lo que da una contradicción si $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño.
Por otro lado, para $i< m-1$, $(-1)^i(p_n(a_{n,i})-p_n(a_{n,i+1})$ es positivo y creciente en $n$ para todos lo suficientemente grande como $n$, por lo que es mayor que en el fijo de $\delta$. La aplicación de (1),
$$
\delta\le (-1)^i(p_{n,i}(a_{n,i})-p_{n,i}(a_{n,i+1}))\le\epsilon(e^{a_{n,i}-a_{n,i+1}}-1).
$$
Suponiendo que $\epsilon \le 1$, elegimos $K > 0$ tal que $\delta\ge e^K-1$. Entonces, $K\le a_{n,i}-a_{n,i+1}$ y podemos aplicar el lema para el intervalo $[a_{n,i}-K,a_{n,i}]$ para obtener
$$
\epsilon(e^K-1)\ge LC^m
$$
de nuevo, dando una contradicción para los pequeños $\epsilon$. QED
Voy a probar ahora el lema. Para cualquier $\epsilon\in\mathbb{R}$ define el operador lineal $T_\epsilon$ de las funciones $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $T_\epsilon f(x)=f(x+\epsilon)$. Si $f$ es un polinomio de grado $m$ con coeficiente inicial de $c$, entonces $T_\epsilon f-f$ es un polinomio de grado m $-1$ con coeficiente inicial de $mc\epsilon$. Por lo tanto, $(T_\epsilon-1)^mf(x)=m!c\epsilon^m$. Por otro lado $\lVert T_\epsilon\rVert=1$ y $(T_\epsilon-1)^mf(x)$, sólo depende de los valores de $f(y)$ $y$ en el intervalo $[x,x+m\epsilon]$. Así, por un monic polinomio $f$ de grado $m$,
$$
m!\epsilon^m=(T_\epsilon-1)^mf(x)\le 2^m\sup_{y\in[x,x+m\epsilon]}\lvert f(y)\rvert
$$
Si $p$ es un monic polinomio de grado $m$ y $a < b$, a continuación, tomar $f(y)=p(y)-p(b)$, $x=a$ y $\epsilon=(b-a)/m$ da el lema con $L=m!(2m)^{m}$.
