Encontrando $\mathbb{E}(s^T)$ para el paseo aleatorio simétrico simple en $\mathbb{Z}$

Question

Dejemos que $X_n$ sea un paseo aleatorio simple y simétrico sobre $\mathbb{Z}$ con $X_0=0$ . Sea $$ T=\inf\{n\ge 1 : X_n=0\} $$ Calcula $\mathbb{E}(s^T)$ por el hecho de ser fijo $s\in(0,1)$ .

Disculpas si esto se ha preguntado antes, parece el tipo de pregunta que puede tener pero no que he encontrado.

Ya hemos demostrado que el paseo es nulo recurrente.

Pensé en utilizar la identidad $$ P_{i,j}(s)=\delta_{ij}+F_{i,j}(s)P_{j,j}(s) $$ ajuste $i=j=0$ y reordenando $$ \mathbb{E}(s^T)=F_{0,0}(s)=\frac{P_{0,0}(s)-1}{P_{0,0}(s)} $$ donde $$ P_{0,0}(s)=\sum^{\infty}_{n=0}s^n\mathbb{P}(X_n=0)=\sum^{\infty}_{k=0}\Big(\frac{s}2\Big)^{2k}{2k\choose k} $$ y no veo cómo esto es útil o que incluso converge.

Preferiblemente me gustaría una respuesta que no utilice números catalanes (aunque puede ser útil para comprobar la respuesta)

Gracias

Answer 1

Primero, nota que $$ \mathsf{P}(T=2n)=\frac{2^{-2n}}{2n-1}\binom{2n}{n}. $$ Así, para $s\in(0,1)$ , $$ \mathsf{E}s^T=\sum_{k\ge 1}\frac{(s/2)^{2n}}{2n-1}\binom{2n}{n}=1-\sqrt{1-s^2}. $$

---

Para ver la última igualdad, observe que $$ A\equiv\sum_{n\ge 1}\frac{(s/2)^{2n}}{2n-1}\binom{2n}{n}=\left(\frac{s}{2}\right)^2\sum_{n\ge 1}\frac{(s/2)^{2n-2}}{2n-1}\binom{2n}{n} $$ y $$ \int_0^s \left(\frac{x}{2}\right)^{2n-1}\, dx=\frac{s(s/2)^{2n-2}}{2n-1}. $$ Por lo tanto, ya que $$ \sum_{n\ge 1}\binom{2n}{n}x^{2n-2}=\frac{4}{\sqrt{1-x^2}\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)}, $$ obtenemos $$ A=\frac{s}{4}\int_0^s\frac{4}{\sqrt{1-x^2}\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)}\,dx=1-\sqrt{1-s^2}. $$