No es fácil de explicar intuitivamente, pero lo intentaré. Utilicemos el siguiente modelo 3D del sistema en cuestión como referencia (el código de Mathematica utilizado para hacer este modelo se puede encontrar en este punto de vista ):
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Deje en lo anterior $\hat z$ sea la dirección desde la base de la estructura hasta la esfera roja, y $\hat x$ el vector unitario que va desde la esfera roja hacia el giroscopio.
Las flechas rojas representan la velocidad de varias partes del giroscopio en rotación. Las flechas verdes representan la acción efectiva de la gravedad sobre el centro de masa de la varilla, y la correspondiente contrafuerza que proporciona la bisagra.
La acción combinada de las dos flechas verdes genera un par de torsión en el sistema varilla + giroscopio, intentando empujarlo hacia abajo. Pero la única manera de que esto ocurra, es que el giroscopio gire en el $\hat x \hat z$ avión:
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Las flechas cian muestran las fuerzas correspondientes que esta rotación induce en los puntos superior e inferior del giroscopio. Ahora, recuerda que las flechas cian representan fuerzas, mientras que las rojas velocidades. Las flechas cianicas inducirán una aceleración en los distintos puntos del giroscopio. En particular, inducirán a las flechas rojas a cambiar de dirección. En el modelo esto se muestra para los puntos superior e inferior, con las flechas naranjas representando los vectores de velocidad modificados en esos puntos.
Como puedes ver ahí, los nuevos vectores de velocidad corresponden a los que tienes cuando el giroscopio cambia su dirección siguiendo el movimiento de precesión. Básicamente, la acción de las fuerzas cian sobre las velocidades rojas es lo que provoca el movimiento de precesión.
En cuanto a la nutación, hay que tener en cuenta que las flechas de color cian de arriba no están del todo bien dibujadas. El movimiento del giroscopio cayendo al amanecer corresponde más correctamente a las flechas cian que están ligeramente inclinadas hacia el suelo. Por supuesto, esto es de esperar: al fin y al cabo, si el giroscopio no girara, simplemente se caería. Por eso, aunque haya precesión, el giroscopio hace bajar un poco.
Esta aceleración hacia el suelo, debido al mismo mecanismo explicado anteriormente, también induce una precesión más rápida. Pero una precesión acelerada provoca ahora un contra-caída reacción, por razones similares a las que causan la propia precesión.
Un movimiento de precesión acelerado significa que efectivamente hay vectores de fuerza que empujan al giroscopio a girar en el $\hat x \hat y$ plano. De nuevo, esto corresponde a la fuerza que empuja diferentes puntos del giroscopio en diferentes direcciones. En lo que sigue, la flecha cian muestra las fuerzas que actúan sobre dos puntos:
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Una vez más, estas fuerzas cian inducirán un cambio en la dirección de las velocidades rojas correspondientes, y las flechas naranjas muestran cuál será la velocidad poco después. Como puedes ver, las nuevas velocidades son las correspondientes a la dirección del giroscopio que va hacia arriba, generando así el fenómeno de "contra-caída" que es en este caso la nutación.
