Problema de Landau, Lifshitz - Mecánica - Integración de las ecuaciones de movimiento

Question

Estoy estudiando Landau, Lifshitz - Mecánica. ¿Podría alguien ayudarme con este problema? =)

Problema 2 (Página 27 de la 3ª edición) Determinar el período de oscilación, en función de la energía, cuando una partícula de masa $m$ se mueve en campos para los que la energía potencial es

$(b)$ $U=-U_{0}/\cosh^{2}\alpha x$

Solución.

El periodo viene dado por

$ T=4 \sqrt{\frac{m}{2}}\int\frac{dx}{\sqrt{E+\frac{U_{0}}{\cosh^{2}\alpha x}}}$

¿Cómo puedo evaluar esta integral? Sé que la respuesta es $T=(\pi/\alpha)\sqrt{2m/|E|}$

Answer 1

Pistas siguiendo los consejos de Vibert:

1. De la conservación de la energía $$\frac{1}{2}m\dot{x}^2 ~=~ E-U,$$ con potencial simétrico $$U ~=~ - \frac{U_0}{c^2},\qquad c~:=~\cosh(\alpha x), \qquad 0<-E<U_0,$$ se obtiene el cuarto de hora $$\frac{T}{4}~=~ \sqrt{\frac{m}{2}} \int_0^{x_1}\frac{dx}{\sqrt{E-U}},$$ donde $x_1>0$ es el punto de inflexión superior determinado por la condición $E=U(x_1)$ .

2. Demostrar que $$\int_0^{x_1}\frac{dx}{\sqrt{E-U}}~=~\frac{1}{\alpha\sqrt{|E|}}\int_0^{\sqrt{a}}\frac{ds}{\sqrt{(a-s^2)}}, $$ donde $$ s~:=~\sinh(\alpha x),\qquad ~a:=~ -U_0/E-1~>~0.$$

3. Demuestre que la última integral no depende de $a>0$ . Elija $a=1$ y realizar una sustitución $s=\sin(t)$ .

Answer 2

Alguna idea para evaluar la integral: $$\int\frac{dx}{\sqrt{E+\frac{U_{0}}{\cosh^{2}\alpha x}}}=\int \cosh\alpha x\frac{dx}{\sqrt{E \cosh^{2}\alpha x+U_{0}}} = \int \frac{d(\sinh\alpha x)/\alpha}{\sqrt{(E+U_0) + E \sinh^{2}\alpha }}$$ La última igualdad utiliza la identidad $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ . Utilizando $y=\sinh \alpha x$ Entonces deberías poder verla como una integral estándar de la forma $\int dy/\sqrt{a^2+y^2} = \sinh^{-1}(y/a)$

Como dijo Vibert, para obtener la respuesta correcta, se necesita el dominio correcto de integración