Encontrar la distancia más corta desde cualquier punto en $f(x)$ a $g(x)$

Question

Supongamos que tengo la función $y=f(x)$ en 2D. Para cualquier punto de esa función, por ejemplo $(x, f(x))$ ¿cuál sería una ecuación que podría derivar que determina el punto más cercano $f(x)$ para cualquier valor $x$ a otra función (llámala $g(x)$ ). Mi intuición era encontrar el menor valor posible para la distancia entre ambos puntos (visto como el radio de un círculo) sin embargo después de escribir cada vector, sólo obtuve una expresión con dos variables que no pude diferenciar con respecto a una variable. He intentado utilizar el cálculo multivariable para encontrar un vector gradiente, pero sólo sé cómo hacerlo para 3d - no 2d. Cualquier ayuda se agradece.

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} b}|\vec{s}|=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} b}\left[(a-b)^{2}+(f(a)-g(b))^{2}\right] $$

Answer 1

Formalmente, se puede escribir una curva como $(x_1, f(x_1))$ y el otro como $(x_2,g(x_2))$ . La distancia entre dos puntos es entonces $d(x_1,x_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(g(x_2)-f(x_1))^2}$ Ahora puede exigir que $\frac {\partial d(x_1,x_2)}{\partial x_1}=\frac {\partial d(x_1,x_2)}{\partial x_2}=0$ lo que equivale a pedir que el segmento de línea de $(x_1, f(x_1))$ a $(x_2,g(x_2))$ golpea cada curva perpendicularmente. No hay garantía de que este cálculo sea manejable.