Simplificar la diferenciación

Question

Estoy trabajando con mi libro de texto y he seguido los pasos con bastante facilidad hasta llegar a esto

$ \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)^3}{2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x-1}~(6x)~(x^2 + 1)^2$

$= \dfrac{(x^2 + 1)^2}{2\sqrt{x - 1})}[(x^2 + 1) + 12x(x - 1)]$

$= \dfrac{(x^2 + 1)^2(13x^2 - 12x + 1)}{2\sqrt{x - 1}}$

¿Cómo van desde la primera línea en adelante?

Gracias de antemano (perdón por el formato)

Answer 1

Voy a suponer que estamos viendo $$\frac{(x^2+1)^3}{2\sqrt{x-1}} +\sqrt{x-1}(6x)(x^2+1)^2.$$ Quitar el factor común $(x^2+1)^2$ y multiplicar y dividir por $2\sqrt{x-1}$ . Obtenemos $$\frac{(x^2+1)^2}{2\sqrt{x-1}}\left((x^2+1)+(2)(x+1)(6x) \right).$$ Ahora simplifica la expresión de la derecha.

Esa parece ser la forma en que se pensó. Yo preferiría llevar primero la expresión al común denominador $2\sqrt{x-1}$ . Entonces obtenemos $$\frac{(x^2+1)^3 +2(x-1)(6x)(x^2+1)^2}{2\sqrt{x-1}}.$$ Ahora quita el factor común $\dfrac{(x^2+1)^2}{2\sqrt{x-1}}$ . Tal vez así se hizo, saltándose un paso.

Observación: Si ya has visto el logaritmo (natural), el siguiente enfoque, llamado diferenciación logarítmica Puede que le resulte atractiva. Su utilidad es, como mucho, marginal en este problema, pero podría ser útil a la hora de diferenciar un producto más largo.

Estábamos diferenciando $(x^2+1)^3 \sqrt{x-1}$ . Sea $$y=(x^2+1)^3\sqrt{x-1}.$$ Toma el logaritmo natural de ambos lados. Utilizando las "leyes de los logaritmos", obtenemos $$\ln y=3\ln(x^2+1)+\frac{1}{2}\ln(x-1).$$ Diferenciamos, utilizando la Regla de la Cadena. Obtenemos $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{6x}{x^2+1} +\frac{1}{2(x-1)}.$$ Por último, multiplique por $y$ para conseguir $\frac{dy}{dx}$ .