¿Qué es la definición de la matriz? $A+A^{*}$

Question

A) ¿Qué es la definición de la matriz? $A+A^{*}$ si la matriz $A$ se define $$A= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ $$ b)Utilizando la conclusión de a), demostrar que la parte real de toda la matriz $A$ valores propios es negativo. $$--------------------------------------$$ Es $A^{*}$ matriz conjugada-transpuesta ? Si es así, debería parecerse a la matriz A en un conjugado-transpuesto . Porque la matriz $A$ no tiene elementos complejos, es entonces la matriz $A+A^{*}=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 3 & -2 & -3 \\ \end{bmatrix} \\[1ex] ?$

Answer 1

A) Podemos calcular los valores propios de $A+A^*$ o comprobar los menores del principio para encontrar que es negativa definida.

Esto significa que para cualquier $x\ne 0$ tenemos $x^* (A+A^*)x <0$ .

b) Ya que $(A+A^*)$ es negativa definida, tenemos para cada vector propio $v$ de $A$ con valor propio $\lambda$ : $$v^*(A+A^*)v = v^*Av +(Av)^*v = v^*\lambda v + (\lambda v)^*v = \lambda v^2 + \lambda^* v^2 = 2\Re(\lambda) v^2 < 0$$ Por lo tanto, $\Re(\lambda)<0$ .