$\pi$ en términos de poligamia

Question

El ordenador lo encontró, pero no pudo probarlo.

Dejemos que $\psi(n,x)$ denotan la función poligama.

Con una precisión de 500 dígitos decimales tenemos:

$$ \pi^2 = \frac{1}{4}(15 \psi(1, \frac13) - 3 \psi(1, \frac16)) $$

¿Es cierto?

En formato legible por máquina:

 pi^2 == 1/4*(15*psi(1, 1/3) - 3*psi(1, 1/6))

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \psi(m,x) =(-1)^{m+1} m! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(x+k)^{m+1}}. $$ Por lo tanto, $$ \psi(m,1/6) = (-1)^{m+1} m! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1/6)^{m+1}} =(-1)^{m+1} m! 6^{m+1} \sum_{n\equiv 1 \mod 6} \frac{1}{n^{m+1}}. $$ Escribir la condición $n\equiv 1 \mod 6$ como $n\equiv 1 \mod 3$ pero no $4 \mod 6$ Lo anterior es \begin{align*} &(-1)^{m+1} m! 6^{m+1} \Big( \sum_{n\equiv 1 \mod 3} \frac{1}{n^{m+1}} - \frac{1}{2^{m+1}} \sum_{n\equiv 2 \mod 3} \frac{1}{n^{m+1}}\Big)\\ &= 2^{m+1} \psi(m,1/3)-\psi(m,2/3). \end{align*} También tenemos $$ \psi(m,1/3) +\psi(m,2/3) = (-1)^{m+1} m! 3^{m+1} \sum_{n \not\equiv 0\mod 3} \frac{1}{n^{m+1}} = (-1)^{m+1} m! (3^{m+1} -1) \zeta(m+1). $$ A partir de estas dos relaciones, claramente tenemos una relación lineal que conecta $\psi(m,1/6)$ , $\psi(m,1/3)$ et $\zeta(m+1)$ : a saber, $$ \psi(m,1/6) = (2^{m+1}+1) \psi(m,1/3)+(-1)^m m! (3^{m+1}-1) \zeta(m+1). $$