Consideremos una curva compleja $\gamma \subset \mathbb{C}$ parametrizado por $\alpha: [a,b]\to \mathbb{C}$ con $\alpha \in C^{(1)}$ . Además, consideremos una cubierta abierta finita $\Phi$ de $\gamma=\alpha([a,b])$ . Dicha cobertura existe por compacidad y continuidad.
Quiero demostrar que podemos encontrar un $\textbf{finite}$ partición $a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$ tal que, para cada $k\in\{1,\dots,n\}$ existe $V\in \Phi$ con $\alpha \left ( [t_{k-1},t_k]\right ) \subset V$ .
Intuitivamente, esto parece obvio, pero no puedo encontrar una prueba rigurosa (o un contraejemplo). Mi mejor esfuerzo es el siguiente:
Desde $\Phi$ es una cubierta de $\gamma$ , $\alpha(a)$ pertenece a algún miembro de $\Phi$ Llámalo $V_1$ . Si $\gamma \subset V_1$ Entonces, hemos terminado. Supongamos entonces que:
$$\{ t\in [a,b] : \alpha(t)\not \in V_1 \}\neq \emptyset$$
Desde $\alpha$ es continua y $V$ es abierto, el LHS es cerrado (y acotado), por lo tanto compacto, y por lo tanto contiene un elemento mínimo, digamos $t_1$ con $a<t_1$ . De nuevo, ya que $\Phi$ es una cubierta de $\gamma$ , $\alpha(t_1)$ pertenece a algún miembro de $\Phi$ (diferente de $V_1$ ), digamos $V_2$ . Repetimos el argumento para encontrar $t_2 = \min\{ t\in [t_1,b] : \alpha(t)\not \in V_2 \}$ con $t_2 > t_1$ . En cada paso, si los conjuntos considerados hasta ahora ya son una cobertura para $\gamma$ hemos terminado (alternativamente, para evitar esto podríamos suponer que $\Phi$ una cobertura mínima, que existe por finitud).
Evidentemente, podemos seguir por este camino para encontrar $t_1<t_2<t_3,\dots$ pero, ¿el proceso termina en un número finito de pasos, donde el $t_n$ encontrado es $b$ ? Mi objeción a la construcción pasada es que las longitudes relativas de los intervalos $[t_{k-1},t_k]$ podría llegar a ser arbitrariamente pequeño, y por lo tanto nunca podríamos "alcanzar" el punto final $b$ , como la paradoja de Zenón.
Imagino que se me escapa algo relacionado con la compacidad de los conjuntos que intervienen. Además, el hecho de que la curva sea de clase $C^{(1)}$ no se ha utilizado todavía, simplemente la continuidad de la curva, por lo que es natural preguntarse si esto también es válido para una curva que es simplemente continua, o si necesito esta hipótesis adicional para completar la curva.
Si alguien pudiera ayudarme a terminar con mi método, o proporcionarme un argumento alternativo para la existencia de la partición deseada, se lo agradecería enormemente.
Además, ¿cambiaría algo si restringimos los miembros de $\Phi$ para ser discos abiertos?
Nota : Me doy cuenta de que el título es bastante vago, pero no se me ocurrió algo más específico (y corto), así que estoy abierto a sugerencias.