3 votos

Cubiertas abiertas finitas de un complejo $C^{(1)}$ curva.

Consideremos una curva compleja $\gamma \subset \mathbb{C}$ parametrizado por $\alpha: [a,b]\to \mathbb{C}$ con $\alpha \in C^{(1)}$ . Además, consideremos una cubierta abierta finita $\Phi$ de $\gamma=\alpha([a,b])$ . Dicha cobertura existe por compacidad y continuidad.

Quiero demostrar que podemos encontrar un $\textbf{finite}$ partición $a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$ tal que, para cada $k\in\{1,\dots,n\}$ existe $V\in \Phi$ con $\alpha \left ( [t_{k-1},t_k]\right ) \subset V$ .

Intuitivamente, esto parece obvio, pero no puedo encontrar una prueba rigurosa (o un contraejemplo). Mi mejor esfuerzo es el siguiente:

Desde $\Phi$ es una cubierta de $\gamma$ , $\alpha(a)$ pertenece a algún miembro de $\Phi$ Llámalo $V_1$ . Si $\gamma \subset V_1$ Entonces, hemos terminado. Supongamos entonces que:

$$\{ t\in [a,b] : \alpha(t)\not \in V_1 \}\neq \emptyset$$

Desde $\alpha$ es continua y $V$ es abierto, el LHS es cerrado (y acotado), por lo tanto compacto, y por lo tanto contiene un elemento mínimo, digamos $t_1$ con $a<t_1$ . De nuevo, ya que $\Phi$ es una cubierta de $\gamma$ , $\alpha(t_1)$ pertenece a algún miembro de $\Phi$ (diferente de $V_1$ ), digamos $V_2$ . Repetimos el argumento para encontrar $t_2 = \min\{ t\in [t_1,b] : \alpha(t)\not \in V_2 \}$ con $t_2 > t_1$ . En cada paso, si los conjuntos considerados hasta ahora ya son una cobertura para $\gamma$ hemos terminado (alternativamente, para evitar esto podríamos suponer que $\Phi$ una cobertura mínima, que existe por finitud).

Evidentemente, podemos seguir por este camino para encontrar $t_1<t_2<t_3,\dots$ pero, ¿el proceso termina en un número finito de pasos, donde el $t_n$ encontrado es $b$ ? Mi objeción a la construcción pasada es que las longitudes relativas de los intervalos $[t_{k-1},t_k]$ podría llegar a ser arbitrariamente pequeño, y por lo tanto nunca podríamos "alcanzar" el punto final $b$ , como la paradoja de Zenón.

Imagino que se me escapa algo relacionado con la compacidad de los conjuntos que intervienen. Además, el hecho de que la curva sea de clase $C^{(1)}$ no se ha utilizado todavía, simplemente la continuidad de la curva, por lo que es natural preguntarse si esto también es válido para una curva que es simplemente continua, o si necesito esta hipótesis adicional para completar la curva.

Si alguien pudiera ayudarme a terminar con mi método, o proporcionarme un argumento alternativo para la existencia de la partición deseada, se lo agradecería enormemente.

Además, ¿cambiaría algo si restringimos los miembros de $\Phi$ para ser discos abiertos?

Nota : Me doy cuenta de que el título es bastante vago, pero no se me ocurrió algo más específico (y corto), así que estoy abierto a sugerencias.

1voto

chaiwalla Puntos 1132

$\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}$ Dejemos que $\alpha:[a,b] \to \Cpx$ sea una curva continua (como una curva de clase $C^{1}$ ), y que $\{V_{c}\}_{c \in C}$ sea una cobertura arbitraria (finita o no) de la imagen $\alpha([a,b])$ por subconjuntos abiertos de $\Cpx$ .

Por la continuidad de $\alpha$ cada preimagen $U_{c} = \alpha^{-1}(V_{c}) \subset [a, b]$ es (relativamente) abierto, y la familia $\{U_{c}\}_{c \in C}$ es una cobertura de $[a, b]$ . Sustituir cada $U_{c}$ por su conjunto de componentes conectados, cada uno de los cuales es un subintervalo abierto de $[a, b]$ . El conjunto de todos estos intervalos es también una cobertura abierta de $[a, b]$ . Por la compacidad de $[a, b]$ existe una subcubierta finita, por ejemplo $\{I_{0}, I_{1}, \dots, I_{n}\}$ y la imagen $\alpha(I_{i})$ de cada intervalo está contenido en uno de los $V_{c}$ .

Ahora construiremos una "cadena de margaritas" desde el $(I_{i})_{i=0}^{n}$ a partir de $a$ y terminando en $b$ : Dejemos que $J_{0}$ sea un intervalo que contenga $a$ y que tenga un supremacía máxima (punto final derecho). Sea $J_{1}$ sea un intervalo que contenga $\sup I_{0}$ y que tiene un supremacía máxima. Continúe de esta manera hasta que obtenga un intervalo $J_{m}$ que contiene $b$ . (En otras palabras, el intervalo zeroth $J_{0}$ contiene $a$ y solapamientos $J_{1}$ que se solapa con $J_{2}$ etc., hasta $J_{m}$ que contiene $b$ .) Una partición adecuada es $$ t_{0} = a < t_{1} = \tfrac{1}{2}(\sup J_{0} + \inf J_{1}) < \cdots < t_{m} = \tfrac{1}{2}(\sup J_{m-1} + \inf J_{m}) < b = t_{m+1}. $$ (En palabras, cada $t_{j}$ es el punto medio de $J_{j-1} \cap J_{j}$ .) Claramente $[t_{j}, t_{j+1}] \subset J_{j}$ para cada $j = 0, \dots, m$ Así que $$ \alpha([t_{j}, t_{j+1}]) \subset \alpha(J_{j}) $$ está contenida en algún $V_{c}$ .

1voto

zhw. Puntos 16255

Supongamos que $K$ es un subconjunto compacto de un espacio métrico $X$ et $\{V_\alpha\}$ es una cubierta abierta de $K$ en $X.$ Entonces existe $\epsilon>0$ de manera que si $E\subset K$ et $\text {diam } E < \epsilon,$ entonces $E$ está contenida en algún $V_\alpha.$ Prueba: Supongamos que no. Entonces para cada $n \in \mathbb {N},$ existe $E_n \subset K$ con $\text {diam } E_n < 1/n$ tal que $E_n$ está contenida en ningún $V_\alpha.$ Elija $x_n \in E_n.$ Entonces alguna subsecuencia $x_{n_k}$ converge a algún $x_0 \in K.$ Ahora $x_0$ pertenece a algún $V_{\alpha_0}.$ Por lo tanto, $B(x_0,r) \subset V_{\alpha_0}$ para algunos $r>0.$ Ahora se puede comprobar fácilmente que para grandes $k,$ $E_{n_k}\subset B(x_0,r) \subset V_{\alpha_0},$ contradicción.

Ahora dejemos que $\alpha :[a,b]\to \mathbb {C}$ sea cualquier mapa continuo (no necesitamos el $C^1$ condición). Entonces $\alpha([a,b])$ es compacto. Supongamos que $\{V_\alpha\}$ es una cubierta abierta de $\alpha([a,b]).$ Elija $\epsilon > 0$ como en el caso anterior. Porque $\alpha$ es uniformemente continua, existe una parción $a=t_0 < \cdots < x_n=b$ tal que $\text {diam } \alpha ([t_{k-1},t_k]) < \epsilon$ para todos $k.$ Entonces, cada $\alpha ([t_{k-1},t_k])$ está contenida en algún $V_\alpha$ como se desee.

0voto

Reveillark Puntos 2893

Después de una tarde de obsesión por el problema y de gesticular como un loco en el autobús, creo que lo he conseguido. Lo que sigue completa (creo) el argumento de mi pregunta. Hay que señalar que sólo hay que suponer la $\alpha$ es continua.

Hasta ahora, hemos construido inductivamente secuencias $\{t_k\}$ et $\{ V_k\}\subset \Phi$ tal que:

$$t_k=\min\{t\in [t_{k-1},b] : \alpha(t) \not \in V_k\}$$

et $V_{k+1}$ es algún miembro de la cubierta tal que $\alpha(t_k) \in V_{k+1}$ . Para definirlo, indexa los miembros de $\Phi$ de alguna manera, y en cada paso elegir el conjunto abierto con el menor índice tal que $\alpha(t_k)$ pertenece a ella. Obviamente, estos índices no tienen por qué coincidir con los de la secuencia, y si la secuencia $\{t_k\}$ es infinito, entonces los conjuntos $V_k$ acabará repitiéndose, ya que $\Phi$ es finito.

Ahora bien, supongamos, por si acaso, que este proceso no se detiene nunca. Más exactamente:

$$\left ( \forall k \in \mathbb{N} \right ) \left ( t_k<b \ \mbox{and} \ \{ t\in [t_k,b] : \alpha(t) \not \in V_k \}\neq \emptyset \right )$$

Por tanto, la construcción puede continuarse indefinidamente para obtener una secuencia estrictamente creciente $\{t_k\}_{k=0}^\infty$ con $t_0=a$ .

Como esta secuencia es creciente y acotada por encima (por $b$ ), existe:

$$t^*=\lim_{k\to \infty}t_k$$

Además, como $\{t_k\}_{k=0}^\infty$ es estrictamente creciente:

$$t_k<t^*\le b \quad \forall k\in \mathbb{N}$$

Ahora bien, como $t^*\in (a,b]$ et $\Phi$ es una cubierta de $\gamma$ , $\alpha(t^*)\in V^*$ para algunos $V^*$ en $\Phi$ . Desde $V^*$ está abierto, hay algo de $\varepsilon >0$ tal que $D(\alpha (z^*),\varepsilon)\subset V^*$ . Por continuidad, existe $\delta>0$ tal que $|t-t^*|<\delta \implies \alpha(t)\in D(\alpha(z^*),\varepsilon)$ . Desde $t_k \to t^*$ podemos encontrar $K$ tal que $\left |t_K-t^* \right |< \delta$ . Pero entonces $\alpha(t_K),\alpha(t_{K+1})\in D(\alpha(z^*),\varepsilon)\subset V^*$ lo cual es una contradicción ya que las imágenes por $\alpha$ de miembros consecutivos de la secuencia $\{t_k\}_{k=0}^\infty$ deben estar en diferentes miembros de la cubierta.

Así que concluimos que, en algún momento, o bien $t_n=b$ o $\{ t\in [t_n,b] : \alpha(t) \not \in V_n \}= \emptyset$ .

En el primer caso, si $t_n = b$ esto significa que la curva "sale" del conjunto $V_n$ exactamente en $b$ . Ahora, $\alpha(t_n)$ debe pertenecer a algún miembro de la cubierta, digamos $V_{n+1}$ . Desde $V_{n+1}$ está abierto, hay algo de $r>0$ tal que $D(\alpha(b),r)\subset V_{n+1}$ . Por continuidad, podemos elegir $t'\in (t_{n-1},b)$ tal que $\alpha(t')\in D(\alpha(b),r)\subset V_{n+1}$ . Está claro que la partición $a=t_0<t_1<\dots<t_{n-1}<t'<t_n=b$ verifica lo que queremos (bueno, no exactamente, pero más adelante hablaremos de ello).

En el segundo caso, si para algunos $n$ , $\{ t\in [t_n,b] : \alpha(t) \not \in V_n \}=\emptyset$ entonces $\alpha ([t_n,b])\subset V_n$ y, por tanto, la partición $a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$ es la deseada.

Ahora, lo que hemos demostrado no es exactamente lo que queríamos, ya que la partición verifica $\alpha([t_{k-1},t_k)) \subset V_k$ et $\alpha([t_n,b])\subset V_n$ para todos $k=1,\dots,n-1$ , en lugar de $\alpha([t_{k-1},t_k])$ para $k=1,\dots,n$ . Para mis propósitos originales, esto es suficiente, pero en lugar de completarlo, indicaré cómo remediarlo:

En primer lugar, observamos que $\alpha(t_k) \in \partial V_k$ . Si esto no fuera así, ya que $\alpha(t_k) \not \in V_k$ et $\overline{V_k}=V_k \cup \partial V_k$ entonces $t_k \not \in \overline{V_k}$ . Desde $\overline{V_k}$ está cerrado y $\{t_k\}$ es compacto, $d(t_k,\overline{V_k})=\eta_k>0$ . Pero entonces, por continuidad, podemos encontrar $t'\in (t_{k-1},t_k)$ tal que $\alpha(t')\in D(\alpha(t_k),\eta_k)$ y por lo tanto $\alpha(t')\not \in V_k$ por nuestra elección de $\eta_k$ lo que contradice la definición de $t_k$ desde $t_{k1}<t'<t_k$ . Por lo tanto, se deduce que $\alpha(t_k) \in \overline{V_k}$ para todos $k$ , $k=1,\dots,n$ .

Ahora, para cada $k$ con $1\le k\le n$ , $\alpha(t_k)\in V_{k+1}$ que es abierto, por lo que existen números positivos $\eta_k$ tal que $D(\alpha(t_k),\eta_k)\subset V_{k+1}$ . De nuevo, por continuidad, podemos encontrar $t'_k\in(t_{k-1},t_k)$ tal que $\alpha([t'_k,t_k))\subset D(\alpha(t_k),\eta_k)\subset V_{k+1}$ . Desde $t_k<t'_{k+1}<t_{k+1}$ se deduce que $\alpha([t_k,t'_{k+1}])\subset V_{k+1}$ . Por lo tanto, $\alpha([t'_k,t'_{k+1}])\subset V_{k+1}$ .

Por último, dado que $\alpha([a,t'_1])\subset V_1$ et $\alpha([t'_n,b])\subset V_n$ es evidente que, tras la reindexación, la partición $a<t'_1<t'_2<\dots<t'_n<b$ tiene las propiedades deseadas.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X