Valor del origen.

Question

Aquí dejamos $\Delta u = 0$ en la bola unitaria y $$u(1 , \varphi,\theta) = \sin^2 \varphi.$$ ¿Cuál es el valor de u en el origen?

Así que sé que este problema utiliza la primera identidad de Green y supongo que utiliza la propiedad del valor medio, dado que se pregunta cuál es el valor del origen y el valor medio sobre una esfera unitaria es igual al valor en el origen. Así que no estoy seguro de dónde ir desde aquí.

¿Sería acaso $$\frac{1}{4\pi} \int^{2\pi}_{0} \int^{\pi}_{0} \sin^2 \varphi~ d\theta ~d\varphi \ ?$$

Answer 1

Tendrá que utilizar el elemento de área adecuado para esas coordenadas: $dS=\sin \theta \, d\theta \, d\phi$ , no sólo $d\theta \, d\phi$ . (Posiblemente con $\phi$ et $\theta$ intercambiado, dependiendo de la convención que utilices).

Se puede decir que algo está mal con su integral ya que no daría el valor medio $1$ si se pone $u(1,\phi,\theta)=1$ en él.