Para $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ el conjunto $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ es denso en $[0,1)$

Question

Dejemos que $x\in \mathbb{R}$ un número irracional. Definir $X=\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ . Demostrar que $X$ es denso en $[0,1)$ .

¿Puede alguien dar alguna pista para resolver este problema? He intentado la contradicción pero no he podido llegar a una prueba.

Paso parte del día estudiando esta cuestión Los múltiplos enteros positivos de un irracional mod 1 son densos y sus respuestas. Sólo una respuesta es clara y da pistas para resolver el problema. Esta respuesta es la primera. Sin embargo, esta respuesta no responde a la pregunta ni directamente, ni la prueba se desprende de esta respuesta.

Esta respuesta tiene algunos errores, utiliza que $[(k_1-k_2)\alpha]=[k_1\alpha]-[k_2\alpha]$ lo cual no es cierto. Considere $k_1=3, k_2=1, \alpha=\sqrt{2}$ tenemos $[(k_1-k_2)\alpha]=2\not= 3=[k_1\alpha]-[k_2\alpha] $ . Sólo podemos asegurar que $[k_2\alpha]-[k_1\alpha]-1\leq [(k_2-k_1)\alpha]\leq[k_2\alpha]-[k_1\alpha]$ .

Quien respondió dijo algo interesante sobre los subgrupos aditivos de $\mathbb{R}$ pero desgraciadamente el conjunto $X=\{nx-[nx] : n\in \mathbb{N} \}$ no es un subgrupo. Considerando el subgrupo aditivo $G=\langle X \rangle$ si probamos la parte (a) del enlace, obtenemos que efectivamente $G$ es denso en $\mathbb{R}$ pero no podemos concluir que $X$ es denso en $[0,1)$ .

Creo que este problema no se ha resuelto.

Gracias.

Answer 1

Ok, ya que has preguntado y no cabe en un comentario, ahí tienes. Lo haré sobre un círculo ya que es un poco más fácil de explicar y te dejaré que lo completes en el caso de un intervalo. digamos que tienes un círculo de longitud $1$ . se dan "pasos" a lo largo del círculo de una longitud irracional, digamos que en sentido contrario a las agujas del reloj. nunca se llegará al mismo punto dos veces, así que para cualquier $\epsilon > 0$ al final encontrarás dos "pasos $a_n$ et $a_m$ tal que $0 < |a_n - a_m| < \epsilon$ . la distancia de $a_n$ a $a_m$ es la misma que entre $a_{n-m}$ et $a_0 = 0$ y así sucesivamente. Por lo tanto, si se deja $k:= n-m$ y sólo considera cada $k$ -En el paso siguiente, se dará la vuelta al círculo y se recorrerá una distancia menor que $\epsilon$ Por lo tanto, si se divide el círculo en arcos de longitudes iguales mayores que $\epsilon$ (pero sólo ligeramente, digamos que más pequeño que $2 \epsilon$ ) tendrás que aterrizar en cada uno de ellos para poder dar la vuelta al círculo (porque tus pasos son demasiado pequeños para saltar sobre ellos). Cada punto del círculo está en al menos uno de esos intervalos, lo que significa que para cada punto del círculo puedes encontrar un número $a_j$ en su secuencia que está más cerca que $2 \epsilon$ a ella. Ahora concluye tomando cada vez más pequeñas $\epsilon$ 's.

edit: oh, solo nota que estoy tomando la distancia a lo largo del círculo, no la euclidiana

Answer 2

Una representación pictórica de la prueba de mm-aops. También evito el uso de "la distancia de $a_n$ a $a_m$ es la misma que entre $a_{n-m}$ et $a_0 = 0$ ."

Dejemos que $\ \varepsilon = \frac{1}{200}.\ $ Luego, dividimos el círculo en $201$ arcos de igual longitud. Piensa en estos arcos como "cajas" en el sentido del principio de encasillamiento: entonces debe haber $\ n,m \leq 201\ $ tal que $\ \mid a_{n} - a_m\mid \leq \frac{1}{201} <\varepsilon.$

Supongamos que los dos primeros $\ n,m\ $ son $\ a_{45}\ $ et $\ a_{162}\ .$

Cualquier punto del círculo debe estar dentro de $\ \varepsilon=\frac{1}{200}\ $ distancia de $\ a_{45}\ $ o $\ a_{162}\ $ o $\ a_{279}\ $ o $\ a_{396}\ $ o ...

Answer 3

Tenga en cuenta que su conjunto $X$ toma los valores decimales de su número irracional $x$ multiplicado por $n\in \mathbb{N}$ .

Take x=0.01234567890001020304050607080910....

x es tal que los diez primeros dígitos después del decimal especifican el primer dígito posible de [0,1), los sucesivos $2\times 10 \times 10$ especificarían los 2 primeros dígitos posibles de [0,1), los sucesivos $3\times 10 \times 10 \times 10$ especificaría los 3 primeros dígitos posibles de [0,1).

Ahora tomando la x que propuse, se puede alcanzar cualquier valor de $r\in [0,1)$ hasta el $i$ multiplicando x de acuerdo con algún valor $10^k\in \mathbb{N}$ (donde $k\in \mathbb{N}$ ).

Los detalles se los dejamos a quien tenga que escribir la prueba por sí mismo. En resumen, uno tomaría una $\epsilon>0$ y cualquier $r\in [0,1)$ y descubra lo pequeño que es $\epsilon$ es. Por ejemplo $\epsilon$ tiene $d$ ceros antes de que comiencen los dígitos no nulos, entonces uno querría especificar el primer $d+1$ elementos de $r$ multiplicando $x$ en consecuencia.

Answer 4

$f \colon x \rightarrow x-\lfloor x \rfloor$

$F=\{f(nx),n \in \Bbb{Z}\}$

$F \neq \emptyset$ et $x \ge 0$ $\exists d=\inf(F)$

Podemos demostrar que $d=0$ (supongamos que un $\gt$ 0 y ...)

por lo que $\forall$ y $\gt$ 0 $\exists$ n $\in$ $\Bbb{N}$ , $y \gt f(nx) \gt 0$

$a,b \in [0;1[$ si $b-a \gt 0$ $\exists n \in \Bbb{N}$ , $b-a \gt f(nx) \gt 0$

$\exists p \in \Bbb{N}$ , pf(nx) $\gt$ a (1) , si suponemos que p es el menor número que verifica (1) tenemos que (p-1)fn(x) $\lt$ a por lo tanto pf(nx) $\lt$ a+f(nx) $\lt$ b

por lo tanto pf(nx) $\in$ [a;b] y pf(nx)=f(pnx)

podemos concluir sobre la densidad

Es la primera vez que uso esta forma de escribir, espero haber sido claro