lista de $L^2$ funciones propias y valores propios en un cilindro con condición de contorno Dirichlet.

Question

Utilizando la separación de variables, escriba una lista completa de $L^{2}$ funciones propias y de valores propios para el laplaciano en el cilindro $D\times[-1,1]$ con condiciones de contorno de Dirichlet, donde D es el disco de 2 dimensiones centrado en el origen de radio 2.

Además, utiliza esto para resolver la ecuación del calor $\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u$ en este cilindro con condición de contorno Dirichlet homogénea, con datos iniciales $u(x,y,z,0)=z$ donde $z$ es la tercera coordenada, correspondiente a la altura del cilindro.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista: En coordenadas cilíndricas \begin{align} \Delta_\text{cylind} u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r} \right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}. \end{align} Como se tiene la condición de contorno de Dirichlet, entonces vemos que \begin{align} \begin{cases} u(2, \theta, z) = 0 & \text{for } -1\leq z \le 1 \text{ and } 0\leq \theta <2\pi,\\ u(r, \theta, \pm 1) = 0 & \text{for } 0\leq r \le 2 \text{ and } 0\leq \theta <2\pi \end{cases} . \Fin

Ahora intenta la separación de variables.