Para las secuencias de Lucas U n (P, Q);
X 0 \=0;
X 1 \=1;
X n \= P * X n-1 - Q * X n-2
siendo Z(n) el punto de entrada de la secuencia, que es el índice del primer término divisible por n.
¿Qué sabemos de z(n)? ¿Existe alguna investigación sobre z(n) para estas secuencias? No he podido encontrar nada.
Respuestas
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Uno de los resultados es que $Z(n)$ debe existir y estar acotado, cuando $(P,n)=(Q,n)= 1 $ o $n$ .
Prueba:
Si tenemos esta secuencia de longitud $n^2+2$ agrupamos los términos vecinos en pares, entonces tenemos $n^2+1$ pares.
Considere (mod n), el número de pares posibles $(n_1,n_2)$ es $n^2$ , $\bigg($$ n_1,n_2 \N - 0 $ $ \N - Gran Bretaña
por el principio de encasillamiento, existe un par de residuos $(n_1,n_2)$ que se produce durante al menos $\lceil \frac{n^2+1}{n^2} \rceil =2 $ veces, digamos en $(X_{a_1},X_{a_1+1})$ y $(X_{b_1},X_{b_1+1})$ , supongamos que $(X_{a_1},X_{a_1+1})$ es precedente $(X_{b_1},X_{b_1+1})$
Como tal, este par generará la misma subsecuencia con la relación de recurrencia indicada, debe ser periódica.
Además, cada uno de los pares se genera con la misma subsecuencia,
porque $X_{n-2}\equiv Q^{-1}[P*X_{n-1}-X_n]\pmod n$ que $Q^{-1} $ existe mientras $(Q,n)=1$ .
Así que vamos a suponer $(Q,n)=1$ entonces con la fórmula anterior, los términos que preceden a ambos $n_1,n_2$ están determinados de forma única.
Como sabemos $X_0 \equiv 0 \pmod n$ , por lo que sabemos $X_{b_1-a_1}$ en la secuencia es $\equiv 0\pmod n$ .
Con estos preliminares, sabemos que $Z(n) \le n^2$ .
Hemos asumido que $(Q,n)=1$ Ahora vamos a considerar $n$ es sólo primo, entonces la relación de recurrencia se reduce a $X_n\equiv P \cdot X_{n-1} \pmod n$ Así que $\not\equiv 0 \pmod n$ a menos que $P \equiv 0 \pmod n$ .
Dado que esto no es necesariamente válido para los factores primos de $Q,P$ por el Teorema del Resto Chino, esto no se cumple necesariamente para todos los factores de $Q,P$ .
G.P.M
Puntos
23
Hay bastantes cosas que sabemos, pero demasiadas para enumerarlas todas. Dicho esto, mencionaré algunas. Si $p$ es un primo, entonces a lo que te refieres es a lo que yo llamo $\omega(p)$ el rango de aparición de $p$ en la secuencia subyacente de Lucas. Suponiendo que se satisfagan ciertos criterios, algunas de las cosas que sabemos dadas $p$ y una secuencia particular de Lucas $U_{n}(P, Q)$ son:
(1) $p$ debe dividir $U_{n+1}$ o $U_{n-1}$
(2) $\omega(p)$ es un divisor del índice de ese "punto de entrada".
(3) No se conoce ninguna fórmula explícita para determinar $\omega(p)$ porque es análoga a la dificultad computacional del problema de encontrar el orden de un entero módulo $p$ .
(4) Si $\omega(p)$ es $n + 1$ o $n - 1$ entonces decimos que $p$ tiene ``máximo'' rango de aparición, que es una característica sólo de los primos; es decir, si $n$ es un número entero cuyo carácter al inicio se desconoce, y si se puede demostrar que tiene el máximo rango de aparición, entonces se sabe que $n$ es un primo. (Ningún pseudoprimo tiene rango máximo de aparición).
(5) Si $\omega(m) = 2k,$ entonces $p$ también tiene rango de aparición $k$ en la secuencia de acompañamiento, $V_{n}(P, Q)$ Si $\omega(m)$ es impar, $p$ no divide ningún término de dicha secuencia compañera. Por ejemplo, en la secuencia de números de Mersenne, $\omega(65537) = 32$ por lo tanto, el primer $65537$ divide la secuencia de términos acompañante $2^{n} + 1$ por primera vez en $V_{16}$ . Por otra parte, el primer $127$ tiene rango de aparición $7$ en la secuencia de números de Mersenne. Por lo tanto, es un factor de ningún número de la forma $2^{n} + 1$ .
Espero que esto ayude.
