¿Por qué el límite es un disco y a la vez es una esfera?

Question

Estoy leyendo sobre Grupos kleinianos en Wikipedia y muestran una imagen del Junta apolínea .

Dejemos que $\Gamma \subseteq \text{GL}_2(\mathbb{C})$ sea un grupo kleiniano. Las órbitas de puntos bajo el grupo kleiniano se acumulan en la esfera en el infinito:
$$\Omega = S^2_\infty - \Lambda$$ Aquí la forma que nos interesa se llama "conjunto límite" y el complemento del conjunto límite se llama "dominio de discontinuidad". Por qué el conjunto límite se llama "shere" y sin embargo se dibuja como un subconjunto del "disco" aquí la unión de contablemente muchos círculos.

¿Podría ser esto sólo el proyección estereográfica ? El Modelo de disco de Poincaré describe $\mathbb{H}^2$ como copia del disco $D$ excepto que están diciendo que el conjunto límite es subconjunto de la esfera $\Lambda \subset S^2$ . Esta es una parte del espacio hiperbólico 3.

Existen diferentes modelos de espacio hiperbólico:

• Modelo Beltrami-Klein
• Modelo de medio plano de Poincaré
• Modelo de disco de Poincaré

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Relacionado:

• Conjunto límite del grupo kleiniano
• Modelos de geometría hiperbólica
• Geodésicas hiperbólicas de Poincaré en modelos semiplanos y de disco que incluyen la rama exterior

Answer 1

Un grupo kleiniano $\Gamma \subseteq \text{SL}(2,\mathbb C)$ actúa en el plano complejo extendido $\mathbb C^* = \mathbb C \cup \{\infty\}$ mediante transformaciones lineales fraccionarias. Utilizando la identificación $$\mathbb C = \{x+iy \mid x,y \in \mathbb R\} \approx \mathbb R^2$$ esa acción se extiende aún más al modelo de medio espacio superior del espacio hiperbólico tridimensional $$\mathbb H^3 = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid z > 0\}$$ (la acción lineal fraccionaria puede extenderse utilizando la notación de cuaterniones $x + i \, y + j \, z + k \cdot 0$ que se describe en otra parte de este sitio o en los libros de texto). El límite del modelo de medio espacio superior es literalmente $$\{(x,y,0) \in \mathbb R^3\} \cup \{\infty\}$$ pero utilizando la identificación $(x,y,0) \approx x+iy$ uno puede identificar $\mathbb C^*$ con el límite de $\mathbb H^3$ .

Teniendo en cuenta esto, el límite establecido $\Lambda\Gamma$ debe considerarse como un subconjunto de $\mathbb C^*$ y también el dominio de la discontinuidad $\Omega\Gamma = \mathbb C^* - \Lambda\Gamma$ .

Como ha supuesto, podemos utilizar la proyección estereográfica tridimensional para identificar $\mathbb C^* \approx S^2$ y así podemos transferir nuestras visualizaciones de conjuntos de límites y dominios de discontinuidad desde $\mathbb C^*$ a $S^2$ si así lo deseamos. Al hacerlo, estamos eligiendo un modelo diferente de $\mathbb H^3$ , es decir, la bola 3 abierta, conocida como el modelo de la bola de Poincaré cuyo límite es $S^2$ . Por supuesto, todo esto es una dimensión más alta que el modelo de disco de Poincaré para $\mathbb H^2$ cuyo límite es $S^1$ .

Por lo tanto, la imagen que muestra de la junta apolínea debe pensarse no tanto como un subconjunto del disco, sino como un subconjunto de $\mathbb C^*$ . Desde este punto de vista, es una coincidencia que el conjunto apolíneo sea al mismo tiempo el conjunto límite de un determinado grupo kleiniano (véase el lema 3.4 aquí ) y un subconjunto del disco de Poincaré. (En cuanto a su título, ese conjunto límite no es ni el disco entero en $\mathbb C^*$ ni toda la esfera $S^2$ .)

En resumen, los distintos modelos del plano hiperbólico bidimensional $\mathbb H^2$ (por ejemplo, el modelo del medio plano superior; el modelo del disco de Poincaré; el modelo del disco de Klein) no son particularmente apropiados para pensar en grupos kleinianos generales. En su lugar, para ese propósito deberías aprender y pensar en los diversos modelos para el espacio hiperbólico tridimensional $\mathbb H^3$ (por ejemplo, el modelo de medio espacio superior; el modelo de bola de Poincaré; el modelo de bola de Klein).