Un grupo kleiniano $\Gamma \subseteq \text{SL}(2,\mathbb C)$ actúa en el plano complejo extendido $\mathbb C^* = \mathbb C \cup \{\infty\}$ mediante transformaciones lineales fraccionarias. Utilizando la identificación $$\mathbb C = \{x+iy \mid x,y \in \mathbb R\} \approx \mathbb R^2 $$ esa acción se extiende aún más al modelo de medio espacio superior del espacio hiperbólico tridimensional $$\mathbb H^3 = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid z > 0\} $$ (la acción lineal fraccionaria puede extenderse utilizando la notación de cuaterniones $x + i \, y + j \, z + k \cdot 0$ que se describe en otra parte de este sitio o en los libros de texto). El límite del modelo de medio espacio superior es literalmente $$\{(x,y,0) \in \mathbb R^3\} \cup \{\infty\} $$ pero utilizando la identificación $(x,y,0) \approx x+iy$ uno puede identificar $\mathbb C^*$ con el límite de $\mathbb H^3$ .
Teniendo en cuenta esto, el límite establecido $\Lambda\Gamma$ debe considerarse como un subconjunto de $\mathbb C^*$ y también el dominio de la discontinuidad $\Omega\Gamma = \mathbb C^* - \Lambda\Gamma$ .
Como ha supuesto, podemos utilizar la proyección estereográfica tridimensional para identificar $\mathbb C^* \approx S^2$ y así podemos transferir nuestras visualizaciones de conjuntos de límites y dominios de discontinuidad desde $\mathbb C^*$ a $S^2$ si así lo deseamos. Al hacerlo, estamos eligiendo un modelo diferente de $\mathbb H^3$ , es decir, la bola 3 abierta, conocida como el modelo de la bola de Poincaré cuyo límite es $S^2$ . Por supuesto, todo esto es una dimensión más alta que el modelo de disco de Poincaré para $\mathbb H^2$ cuyo límite es $S^1$ .
Por lo tanto, la imagen que muestra de la junta apolínea debe pensarse no tanto como un subconjunto del disco, sino como un subconjunto de $\mathbb C^*$ . Desde este punto de vista, es una coincidencia que el conjunto apolíneo sea al mismo tiempo el conjunto límite de un determinado grupo kleiniano (véase el lema 3.4 aquí ) y un subconjunto del disco de Poincaré. (En cuanto a su título, ese conjunto límite no es ni el disco entero en $\mathbb C^*$ ni toda la esfera $S^2$ .)
En resumen, los distintos modelos del plano hiperbólico bidimensional $\mathbb H^2$ (por ejemplo, el modelo del medio plano superior; el modelo del disco de Poincaré; el modelo del disco de Klein) no son particularmente apropiados para pensar en grupos kleinianos generales. En su lugar, para ese propósito deberías aprender y pensar en los diversos modelos para el espacio hiperbólico tridimensional $\mathbb H^3$ (por ejemplo, el modelo de medio espacio superior; el modelo de bola de Poincaré; el modelo de bola de Klein).
