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¿Por qué el límite es un disco y a la vez es una esfera?

Estoy leyendo sobre Grupos kleinianos en Wikipedia y muestran una imagen del Junta apolínea .

Dejemos que ΓGL2(C) sea un grupo kleiniano. Las órbitas de puntos bajo el grupo kleiniano se acumulan en la esfera en el infinito:
Ω=S2Λ Aquí la forma que nos interesa se llama "conjunto límite" y el complemento del conjunto límite se llama "dominio de discontinuidad". Por qué el conjunto límite se llama "shere" y sin embargo se dibuja como un subconjunto del "disco" aquí la unión de contablemente muchos círculos.

¿Podría ser esto sólo el proyección estereográfica ? El Modelo de disco de Poincaré describe H2 como copia del disco D excepto que están diciendo que el conjunto límite es subconjunto de la esfera ΛS2 . Esta es una parte del espacio hiperbólico 3.

Existen diferentes modelos de espacio hiperbólico:


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tariqsheikh Puntos 58

Un grupo kleiniano ΓSL(2,C) actúa en el plano complejo extendido C=C{} mediante transformaciones lineales fraccionarias. Utilizando la identificación C={x+iyx,yR}R2 esa acción se extiende aún más al modelo de medio espacio superior del espacio hiperbólico tridimensional H3={(x,y,z)R3z>0} (la acción lineal fraccionaria puede extenderse utilizando la notación de cuaterniones x+iy+jz+k0 que se describe en otra parte de este sitio o en los libros de texto). El límite del modelo de medio espacio superior es literalmente {(x,y,0)R3}{} pero utilizando la identificación (x,y,0)x+iy uno puede identificar C con el límite de H3 .

Teniendo en cuenta esto, el límite establecido ΛΓ debe considerarse como un subconjunto de C y también el dominio de la discontinuidad ΩΓ=CΛΓ .

Como ha supuesto, podemos utilizar la proyección estereográfica tridimensional para identificar CS2 y así podemos transferir nuestras visualizaciones de conjuntos de límites y dominios de discontinuidad desde C a S2 si así lo deseamos. Al hacerlo, estamos eligiendo un modelo diferente de H3 , es decir, la bola 3 abierta, conocida como el modelo de la bola de Poincaré cuyo límite es S2 . Por supuesto, todo esto es una dimensión más alta que el modelo de disco de Poincaré para H2 cuyo límite es S1 .

Por lo tanto, la imagen que muestra de la junta apolínea debe pensarse no tanto como un subconjunto del disco, sino como un subconjunto de C . Desde este punto de vista, es una coincidencia que el conjunto apolíneo sea al mismo tiempo el conjunto límite de un determinado grupo kleiniano (véase el lema 3.4 aquí ) y un subconjunto del disco de Poincaré. (En cuanto a su título, ese conjunto límite no es ni el disco entero en C ni toda la esfera S2 .)

En resumen, los distintos modelos del plano hiperbólico bidimensional H2 (por ejemplo, el modelo del medio plano superior; el modelo del disco de Poincaré; el modelo del disco de Klein) no son particularmente apropiados para pensar en grupos kleinianos generales. En su lugar, para ese propósito deberías aprender y pensar en los diversos modelos para el espacio hiperbólico tridimensional H3 (por ejemplo, el modelo de medio espacio superior; el modelo de bola de Poincaré; el modelo de bola de Klein).

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