Un grupo kleiniano Γ⊆SL(2,C) actúa en el plano complejo extendido C∗=C∪{∞} mediante transformaciones lineales fraccionarias. Utilizando la identificación C={x+iy∣x,y∈R}≈R2 esa acción se extiende aún más al modelo de medio espacio superior del espacio hiperbólico tridimensional H3={(x,y,z)∈R3∣z>0} (la acción lineal fraccionaria puede extenderse utilizando la notación de cuaterniones x+iy+jz+k⋅0 que se describe en otra parte de este sitio o en los libros de texto). El límite del modelo de medio espacio superior es literalmente {(x,y,0)∈R3}∪{∞} pero utilizando la identificación (x,y,0)≈x+iy uno puede identificar C∗ con el límite de H3 .
Teniendo en cuenta esto, el límite establecido ΛΓ debe considerarse como un subconjunto de C∗ y también el dominio de la discontinuidad ΩΓ=C∗−ΛΓ .
Como ha supuesto, podemos utilizar la proyección estereográfica tridimensional para identificar C∗≈S2 y así podemos transferir nuestras visualizaciones de conjuntos de límites y dominios de discontinuidad desde C∗ a S2 si así lo deseamos. Al hacerlo, estamos eligiendo un modelo diferente de H3 , es decir, la bola 3 abierta, conocida como el modelo de la bola de Poincaré cuyo límite es S2 . Por supuesto, todo esto es una dimensión más alta que el modelo de disco de Poincaré para H2 cuyo límite es S1 .
Por lo tanto, la imagen que muestra de la junta apolínea debe pensarse no tanto como un subconjunto del disco, sino como un subconjunto de C∗ . Desde este punto de vista, es una coincidencia que el conjunto apolíneo sea al mismo tiempo el conjunto límite de un determinado grupo kleiniano (véase el lema 3.4 aquí ) y un subconjunto del disco de Poincaré. (En cuanto a su título, ese conjunto límite no es ni el disco entero en C∗ ni toda la esfera S2 .)
En resumen, los distintos modelos del plano hiperbólico bidimensional H2 (por ejemplo, el modelo del medio plano superior; el modelo del disco de Poincaré; el modelo del disco de Klein) no son particularmente apropiados para pensar en grupos kleinianos generales. En su lugar, para ese propósito deberías aprender y pensar en los diversos modelos para el espacio hiperbólico tridimensional H3 (por ejemplo, el modelo de medio espacio superior; el modelo de bola de Poincaré; el modelo de bola de Klein).