Secuencia, límite irracional

Question

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia tal que $a_0=0,a_1=1$ y $a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_n}{2^n}$

Demuestra que la secuencia es convergente y que el límite es irracional.

Mi intento: Demostrar la primera parte es bastante fácil.

Utilizando la inducción vemos que $a_n>0,\forall n>0$ por lo que la secuencia es creciente. Después de algunos trucos encontramos un límite superior que es 2. Por lo tanto, he demostrado la convergencia.

EDIT: Demostrando que el límite superior es 2: $$ln(a_{n+2})<ln(a_{n+1})(1+\frac{1}{2^n})<ln(a_{n+1}+\frac{1}{2^n})<ln(a_n)+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}<...<\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^k}<2$$

EDIT_2: El límite superior parece ser $e$ resultado demostrado por @Jack D'Aurizio en la sección de comentarios

Por la parte irracional. Encontré que $a_{n+2}=1+\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{2^k}$

Dejar $L=\lim\limits_{n \to \infty}a_n$ tenemos $L=1+ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^n}$

No he podido ir más allá de esto.

Answer 1

¿La representación binaria del límite no es infinita y no periódica y por tanto es irracional?

Representar a $a_n$ como un número binario, y demostrar que $a_{n+1}$ tiene más dígitos binarios que $a_n$ . Esto muestra el infinito.

Si el periodo fuera $p$ (después de la primera $d$ dígitos), supongo que podemos considerar lo suficientemente grande $N$ y $a_N$ . Esto es incompleto y quizás la parte más difícil de este problema.