Supongamos que $F$ es un campo de característica $p > 0$ y $[E:F] = p$ . Entonces supongamos que hay algunos $\alpha \in E\setminus F$ con un polinomio mínimo inseparable sobre $F$ .
Entonces cada $\alpha \in E\setminus F$ tiene un polinomio mínimo inseparable sobre $F$ .
¿Cómo se ve esto?
Supongamos que $\alpha \in E\setminus F$ tiene un polinomio mínimo inseparable $f_\alpha \in F[x]$ .
Entonces deg $(f_\alpha) | p$ y por lo tanto es $= p$ (si no, debe tener grado $1$ pero eso contradice $\alpha \not \in F$ ).
Pero ahora podemos utilizar el hecho de que $f_\alpha(x) = g(x^{p^d})$ para algún irreducible separable $g$ y algunos $d \geq 1$ . Pero como el grado de $f_\alpha$ es $p$ por lo que tenemos que $d = 1$ y $g(x) = x-\alpha$ .
Es decir $f_p(x) = (x-\alpha)^p = x^p - \alpha^p$ y así $\alpha^p \in F$ .
Además, también se puede concluir que creo que $E = F(\alpha)$ (como $F(\alpha) \leq E$ pero $[F(\alpha) : F] = [E:F] = p$ )
Así que ahora tenemos que $E = F(\alpha)$ y $\alpha^p \in F$ .
Esto creo que resulta en que si $\beta \in E = F(\alpha)$ entonces $\beta^p \in F$ así como cualquier $\beta \in F(\alpha)$ es como $\beta = \sum_{i \leq p}a_i \alpha^i$ donde el $a_i \in F$ y luego $\beta^p = \sum_{i \leq p}a_i^p\alpha^{p^i} \in F$ . Y así $x^p - \beta^p = (x-\beta)^p$ sería el polinomio mínimo (e inseparable) para $\beta$ - esto es mínimo ya que $(x-\beta)^p$ es irreducible en $F$ - si $(x-\beta)^k \in F[x]$ para cualquier $k \leq p$ entonces $(x-\beta)^k = x^k - k\beta x^{k-1} + \cdots \in F[x]$ lo que significa que $k\beta in F[x]$ pero desde entonces $\beta \not \in F$ esto sólo puede ocurrir si $k = p$ y así $(x-\beta)^p$ es irreducible en $F[x]$ después de todo. Así, $(x-\beta)^p$ es el polinomio mínimo e inseparable para cada $\beta \in E\setminus F$ Y así cada $\beta$ es inseparable, lo que demuestra la conclusión.
¿Te parece bien? ¿Hay una forma más sencilla de hacerlo?
