Crear una función similar a sin(x) con bajadas más pronunciadas pero con picos y mínimos iguales

Question

Como dice el título, he estado intentando crear una función que sea idéntica a $\sin(x)$ excepto que tiene una pendiente más pronunciada en la parte central de la curva, pero se suaviza de manera que esta función y $\sin(x)$ tienen el mismo punto de inflexión tanto para el pico como para el fondo.

He intentado describirlo en la siguiente imagen, si suponemos que la función superior es $\sin(x)$ Me gustaría crear algo parecido a la imagen inferior. Actualmente estoy probando alguna variación de $\sin(x-0.5\sin(x))$ que me da la pendiente más pronunciada, pero esto acorta la duración real y los picos y los mínimos no se alinean.

Se agradecerá cualquier sugerencia sobre formas funcionales que pueda probar.

Disculpen mis escasas habilidades de pintura:

Answer 1

¿A qué se refiere cuando dice "crear"? Puede tomar $H\circ \sin(x)$ donde H tiene las propiedades: $H(x)$ cerca de $-1$ para $x \le -1/3$ , $H(x)$ cerca de $1$ para $x \ge 1/3$ , $H$ es débilmente creciente, $H$ es suave, y $H(-x) = -H(x)$ Se puede "crear" tal $H$ tomando una función lineal a trozos y convolviéndola después con una función de suavizado (por ejemplo, la gaussiana normalizada).

He programado esto en Mathematica. Aquí está el gráfico de $H$ , seguido de la trama de $H\circ \sin$ .

Código:

h[x_] := Piecewise[{{-1, x <= -1/3}, {1, x >= 1/3}}, 3 x ]
A = 1/4;    (*parameter for Gaussian;  smaller gives narrower peak *)
G[x_] :=  Exp[-(x/A)^2/2]/(A Sqrt[2 Pi]); 
H[y_] = Convolve[h[x], G[x], x, y]; 
L[x_] :=  H[Sin [x]]
Plot[h[x], {x, -2, 2}]
Plot[H[x], {x, -2, 2}]
Plot[L[x],  {x, -10, 10}]

Answer 2

Esta es una solución bastante sencilla:

$ f_k(x) = \arctan(k \cdot \sin x) / \arctan k $

Seno empinado

Estamos utilizando una función de escala no uniforme

$ f_k(x) = \arctan(k \cdot x) / \arctan k $

donde $k$ determina el grado de deformación:

• con pequeñas $k$ (por ejemplo $0.001$ ) es casi una transformación de la identidad.
• con mayor $k$ (por ejemplo $4$ o más) hay más deformación hacia arriba/hacia abajo

Porque el dominio es el resultado de $\sin x$ No nos preocupa lo que ocurra fuera $[-1..1]$ , por lo que no necesitamos hacerlo a trozos.

Deformación pronunciada

Otras funciones de escala no uniforme en el Función sigmoidea familia son aplicables.

Una aplicación en el procesamiento de imágenes es para producir alto contraste transformación.