Función suave entre el colector compacto y el conectado

Question

Tengo este problema y no sé cómo proceder con él:

Dejemos que $M$ sea una variedad compacta $N$ un colector conectado y $f\colon M \longrightarrow N$ una función suave. Si $f$ no tiene puntos críticos, entonces demuestre que $f$ es suryente.

Lo que sé es que desde $f$ no tiene puntos críticos, todos los puntos de $N$ son regulares. Desde $M$ es compacto, entonces $f(M)$ también es compacto. Ahora, si $n\in N$ es un punto tal que $n\notin f(M)$ entonces puedo definir la función $g\colon M \longrightarrow \mathbb{R}$ donde $g$ define la longitud más corta desde $x\in M$ a $n$ Sé que esta función debe tener un máximo y un mínimo, pero de esto lo único que puedo deducir es que hay una vecindad abierta para $n$ en $N$ . ¿Qué puedo hacer para acabar con el problema?

EDITAR: $M$ y $N$ son de la misma dimensión.

Answer 1

La imagen es obviamente cerrada, ya que es compacta. La imagen es abierta por el teorema de la función inversa. Como es no vacía y $Y$ está conectado, es todo el espacio.

EDITAR: Como ha señalado Jack Lee en los comentarios, la suposición de $\dim M= \dim N$ es innecesario. Sólo es necesario que $M$ es no vacía, ya que si $\dim M < \dim N$ cada punto es un punto crítico (contradiciendo la hipótesis), y si $\dim M > \dim N$ la forma local de las inmersiones (que también es una consecuencia del teorema de la función inversa) nos dice que $f$ es un mapa abierto, y el argumento sigue de la misma manera.

Answer 2

Si $F$ no tiene puntos críticos, entonces $F$ debe ser una inmersión y, por tanto, un mapa abierto. Como $M$ es hausdorff, $F(N)$ es a la vez, cerrado y abierto en M. Por la conectividad de $M$ , $F(N)=M$ y así $F$ es suryente.