Punto fijo de un mapa acotado en un espacio métrico compacto

Question

El siguiente es un ejercicio de Análisis lineal por Bollobas.

Dejemos que $f:X\to X$ con $X$ un espacio métrico compacto. Supongamos que para cada $\epsilon>0$ Hay un $\delta=\delta(\epsilon)$ de manera que si $d(x,f(x))<\delta$ entonces $f(B(x,\epsilon))\subset B(x,\epsilon)$ . Sea $x_0\in X$ y definir $x_n=f(x_{n-1})$ por cada $n\ge 1$ . Demuestre que si $d(x_n,x_{n+1})\to 0$ como $n\to \infty$ entonces la secuencia converge a un punto fijo de $f$ .

Mi intento: Así que la compacidad implica la completitud, por lo que esta secuencia tiene un límite $x$ . Por otro lado, para cualquier $\epsilon>0$ hay $N$ para que siempre que $k>N$ , $d(x_k,x)<\epsilon$ y $d(x_k,f(x_{k}))<\delta\epsilon$ . Entonces, como $x$ está en un $\epsilon$ -bola alrededor $x_k$ y $x_k$ satisface la condición necesaria, $f(x)$ también debe estar en el $\epsilon$ -Pelota sobre $x_k$ . Así, $d(x_k,f(x))<\epsilon$ y así vemos que $x_k\to f(x)$ también, y por lo tanto debemos tener $x=f(x)$ .

¿He hecho algo mal? Parece que no he utilizado toda la fuerza de compactación en ningún sitio...

Answer 1

Mi primera idea es decir que en un espacio compacto, toda secuencia tiene una subsecuencia convergente.

En este caso $d(x_{n_{k}},x) <\epsilon$

d( $f\circ f\circ ...f\circ (x_n),x_{n_k})<\epsilon$ para un cierto número de repeticiones.

Lo que no he podido comprobar es si sería posible que f(x) se alejara de $x_{n_k}$ para una secuencia de pasos, y volver a ella, y que cada paso sea decreciente.

Answer 2

$X$ es compacta, por lo que dada una secuencia cualquiera $(x_i)$ podemos tomar una subsecuencia convergente $(x_{i_j})$ que converge a algún $x\in X$ . Ahora, toma cualquier $\epsilon>0$ . Por convergencia hay algún $N$ de manera que siempre que $l>N$ , $d(x,x_{i_l})<\epsilon$ . Ahora, por hipótesis, hay $M$ de manera que siempre que $k>M$ , $d(x_k,x_{k+1})<\delta(\epsilon)$ . Por lo tanto, existe una cantidad suficientemente grande de $L$ de manera que siempre que $m>N$ y $i_m>M$ , $f(x)$ está dentro del $\epsilon$ -Pelota sobre $x_{i_m}$ . Así, $x_{i_j}$ convergen a $f(x)$ y así $f(x)=x$ .

Ahora, $x$ satisface trivialmente $d(x,f(x))<\delta(\epsilon)$ por lo que para cualquier $\epsilon$ , hay $x_{i_j}$ tal que $d(x_{i_j},x)<\epsilon$ y por lo tanto $f(x_{i_j})=x_{i_j+1}$ está dentro del $\epsilon$ -Pelota sobre $x$ . De hecho, esto sigue siendo válido para todos los $f^n(x_{i_j})$ o, en su defecto, cada $x_m$ con $m>i_j$ . De ahí que el $x_i$ convergen a $x$ también.