Encontrando $x,y$ tal que $x^2+y^2=13^n$

Question

Demuestre que si $n\in\mathbb{N}$ entonces existe $x,y$ tal que $x^2+y^2=13^n$

Answer 1

Nota

• $13 = 2^2+3^2$ y $13^{2}=5^{2}+12^{2}$ .

• Si $n$ es impar entonces $n=2k+1$ Por lo tanto $13^{2k+1} = 13^{2k}\cdot 13 = 13^{2k}\cdot (2^2+3^2)$

• Si $n$ es incluso entonces $n=2k+2$ y así $13^{2k+2}=13^{2k}\cdot 13^{2}=13^{2k}\cdot 5^{2}+13^{2k}\cdot 12^{2}$

Answer 2

En primer lugar, observe que $3^{2}+2^{2}=13$ . Ahora, fíjate si $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}=13^{n}$ entonces $(2x_{n}-3y_{n})^{2}+(2y_{n}+3x_{n})^{2}=13^{n+1}$ . Y así se consigue una recursión.