La línea $6x+8y=48$ se cruza con el $x$ -eje en punto $A$ y el $y$ -eje en punto $B$ . Una línea $L$ biseca el área y el perímetro del triángulo $OAB$ donde $O$ es el origen.
Encuentre la(s) posible(s) ecuación(es) de $L$ .
Mi intento
Siento que puede haber tres líneas, pero cómo proceder.
Que la línea $L$ sea $y= k x +b$ y se cruza con $6x+8y=48$ en $(p,q)$ , donde
$$p= \frac{24-4b}{3+4k },\>\>\>\>\> q= \frac{24k+3b}{3+4k } $$
Dada la igualdad de área y perímetro, establece las ecuaciones siguientes
$$(6-b)p=bp+8q$$ $$(6-b)+\sqrt{p^2+(6-q)^2} = b+8+\sqrt{(8-p)^2+q^2}$$
Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para obtener $b=\sqrt6$ y $k=1-\sqrt{\frac32}$ . Así, la línea bisectriz $L$ es
$$y= \left(1-\sqrt{\frac32}\right)x+\sqrt6$$
(Obsérvese que las ecuaciones anteriores corresponden a $L$ que interseca el cateto vertical y la hipotenusa; otras configuraciones no dan soluciones válidas).
Hay tres condiciones posibles :
Área de $\displaystyle\triangle ACD=\frac{1}{2}(pq)\sin37^\circ=12\implies pq=40$ . También, $p+q=12$ para la bisección del perímetro.
Resolver para $p,q$ .
Haz lo mismo para los otros dos casos
Como ha corregido @Moko19, comprueba también los otros tres casos, que no he mencionado en el diagrama.
Sólo obtendrá una única línea que pase por $D\displaystyle(0,\sqrt 6)$ y $\displaystyle C\left(\frac{24+4\sqrt 6}{5},\frac{12-3\sqrt 6}{5}\right)$ con pendiente $\displaystyle\frac{10-5\sqrt 6}{10}$ .
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