Definición de multiplicidad de intersección en Hartshorne VS Fulton para curvas planas

Question

En el ejercicio I.5.2 de Harshorne existe la siguiente definición de multiplicidad de intersección para dos curvas en $\mathbb{A}^2$ : \begin{equation} \mathrm{length}_{\mathcal{O}_P}\mathcal{O}_P / (f,g) \end{equation} donde $P$ es el punto de la intersección que nos interesa, $\mathcal{O}_P$ es su anillo local en $\mathbb{A}^2$ y $f$ y $g$ son los polinomios que dan las dos curvas.

Por otro lado he encontrado en varias referencias, como las curvas algebraicas de Fulton, que la longitud se toma sobre $k$ el campo de residuos de $\mathcal{O}_P$ .

Desde $k$ se incrusta en $\mathcal{O}_P$ naturalmente, puedo ver cualquier secuencia de $\mathcal{O}_P$ -como secuencia de $k$ -módulos y luego consigo que la longitud sobre $k$ es mayor o igual que la longitud sobre $\mathcal{O}_P$ .

Llegados a este punto, supongo que las dos definiciones deberían ser equivalentes, pero estoy atascado en el intento.

¡Cualquier pista o respuesta sobre esto es bienvenida!

Answer 1

Dado un módulo generado finitamente $M$ sobre un anillo noetheriano $A$ existe una filtración de $M$ por submódulos $M=M_0\supset M_1\cdots \supset M_n=0$ tal que $M_i/M_{i+1}\cong A/\mathfrak p_i$ para algunos ideales primos $\mathfrak p_i\subset A$ (Bourbaki, Álgebra conmutativa (Capítulo IV, §1, Teorema 1, página 261)

Ahora $M$ tiene una longitud finita si todos los $\mathfrak p_i$ son máximos y esto se aplica en nuestro caso, donde $A=\mathcal O_P$ y $M=\mathcal{O}_P / (f,g)$ .
Entonces tenemos $\mathfrak p_i=\mathfrak m_P\subset A=\mathcal O_P$ y finalmente $$\mathrm{length}_A M=\sum_i \mathrm{length}_A(M_i/M_{i+1})=\sum_i \mathrm{length}_A(A/\mathfrak m)=\sum_i \mathrm{length}_Ak=\sum_i 1=n=\mathrm{dim}_kM$$

Observaciones
1) He asumido que $M=\mathcal{O}_P / (f,g)$ tiene una longitud finita: esto se deduce de su finitud $k$ -que se desprende de la finitud de la intersección de dos curvas sin componente común irreducible.
2) En todo lo anterior no he asumido $k$ algebraicamente cerrado.

Answer 2

Tenemos $\operatorname{length}_{\mathcal{O}_P} \mathcal{O}_P/(f,g) = \operatorname{length}_{\mathcal{O}_P/(f,g)} \mathcal{O}_P/(f,g)$ . Por lo tanto, basta con demostrar que este último es igual a $\operatorname{length}_k \mathcal{O}_P/(f,g)$ .

Dejemos que $A = \mathcal{O}_P / (f,g)$ , $\mathfrak{m}$ su ideal máximo, y suponer que las dos curvas no tienen componentes en común, por lo que $(A,\mathfrak{m})$ es un local artiniano $k$ -Álgebra.

Para algunos $n$ tenemos una cadena de $A$ -módulos $(0) = \mathfrak{m}^n \subset \mathfrak{m}^{n-1} \subset \cdots \subset \mathfrak{m} \subset A$ . Además, $\mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}$ es de dimensión finita como $k$ -espacio vectorial para cada $j\geq 0$ , por lo que tenemos $\dim_k A = \sum_{j=0}^{n-1} \dim_k \mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}$ .

Si $k$ es algebraicamente cerrado (o, como ha señalado Georges, si $P$ es un punto racional), entonces $A/\mathfrak{m} \cong k$ . Cada $\mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $k$ Así que $\dim_k A = \sum_{j=0}^{n-1} \operatorname{length}_k \mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1} = \sum_{j=0}^{n-1}\operatorname{length}_{A/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1} = \sum_{j=0}^{n-1}\operatorname{length}_A \mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1} \leq \operatorname{length}_A A$ .