Identidad al estilo de Ramanujan

Question

¿Es posible representar $$ \sqrt[3] {7\sqrt[3]{20}-1} =\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}+\sqrt[3]{C}$$ con racionalidad $A,\,B,$ y $C?$

Answer 1

Sí .

$$ \sqrt[3] {-1+7\sqrt[3]{20}} =\sqrt[3]{\frac{16}{9}}+\sqrt[3]{\frac{100}{9}}-\sqrt[3]{\frac{5}{9}}\tag0$$

Solución: De forma más general, dadas las tres raíces $x_i$ de cualquier ecuación cúbica,

$$x^3+ax^2+bx+c=0\tag1$$

entonces las sumas que involucran las raíces cúbicas del $x_i$ se puede dar en la forma simple,

$$(u+x_1)^{1/3}+(u+x_2)^{1/3}+(u+x_3)^{1/3} = \big(w+3\,\sqrt[\color{blue}6]{d}\big)^{1/3}$$

donde $u,w$ son las constantes,

$$u = \frac{ab-9c+\sqrt{d}}{2(a^2-3b)}\tag2$$

$$w = -\frac{(2a^3-9ab+27c)+9\sqrt{d}}{2(a^2-3b)}\tag3$$

y $d$ es,

$$d = \tfrac{1}{27}\Bigl(4(a^2-3b)^3-(2a^3-9ab+27c)^2\Bigr)\tag4$$

Ejemplo: Para su pregunta, tenemos,

$$w=-1, \quad d =\frac{7^6\cdot20^2}{3^6}$$

y subiendo estos en $(3),(4)$ y utilizando $Mathematica$ para simplificar, obtenemos $b,c$ para la arbitrariedad $a$ como,

$$b= \tfrac{1}{9}(-343+3a^2)$$

$$c= \tfrac{1}{27}(-2058-343a+a^3)$$

Sustituyendo $b,c,d$ en $(2)$ y $(1)$ encontramos que..,

$$u=\tfrac{1}{9}(37+3a)$$

y $(1)$ factores como,

$$ (7 + a + 3 x) (14 + a + 3 x) (-21 + a + 3 x) = 0\tag5$$

dando $x_1, x_2, x_3$ . La expresión $u+x_1$ se simplifica como $\frac{16}{9}$ y de forma similar para $x_2, x_3$ , resolviéndose así en la relación numérica $(0)$ dado arriba.