Ser el primero en elegir una de las dos cartas de una baraja de 52 que te hará ganar 1 millón de dólares.

Question

A los concursantes de un programa de juegos se les pide que desde una línea. Uno a uno, cada uno de ellos recibirá una carta (boca arriba) de una baraja de 52 hasta que alguien consiga un as de picas o un as de bastos. La primera persona que consiga una de esas cartas recibirá una suma de 1 millón de dólares.

Antes de que empiece el juego, tienes la posibilidad de elegir en qué lugar de la fila te vas a colocar. Cómo sabrás en qué posición será el primero en recibir una de las 2 cartas negras del As.

Lo primero que se me ocurrió fue hacer un simulacro de esto y contar cuántas cartas se pusieron antes de que apareciera el primer as negro. Repetí esto durante 25 veces mientras registraba los resultados de cada prueba para, con suerte, obtener una estimación del número medio de cartas distribuidas antes de que apareciera uno de los Ases negros.

Answer 1

• El primero de la fila es el ganador con probabilidad $\frac2{52}$
• El segundo de la fila es el ganador con probabilidad $\frac{50}{52}×\frac2{51}$
• En general, el $n$ th-in-line es el ganador con probabilidad $$f(n)=\frac2{53-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{51-k}{53-k}$$

Sin embargo, $f(n)$ es estrictamente decreciente porque (como se puede demostrar manipulando la definición) $$f(n+1)=\frac{51-n}{52-n}f(n)$$ Por lo tanto, debe pedir ser el primero en la fila para tener la mayor probabilidad de ganar.

Answer 2

Piénsalo así. Si sólo hubiera una carta ganadora, tendría la misma probabilidad de estar en cada lugar del mazo, y (equivalentemente) cada persona de la fila tendría la misma probabilidad de recibir la carta ganadora. Si hay varias cartas ganadoras, cada persona de la fila tiene la misma probabilidad de recibir a carta ganadora; pero para ganar, hay que recibir una carta ganadora y ser el primero en hacerlo. Esto es más probable si eres el primero de la fila, ya que entonces se garantiza la segunda condición.