Valor de un elemento de una matriz simétrica con un valor propio dado.

Question

Dejemos que $$\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{bmatrix}$$ sea una matriz real con valores propios $1$ , $0$ y $3$ . Si los vectores propios correspondientes a $1$ y $0$ son $(1,1,1)^{T}$ y $(1,-1,0)^{T}$ respectivamente, entonces cuál es el valor de $3f?$ Cómo encontrar el valor de $3f?$

A partir de las condiciones dadas sobre los valores propios tenemos $$a+b+c=1\\b+d+e=1\\c+e+f=1\\a-b=0\\b-d=0\\c-e=0.$$ ¿Existe alguna forma corta de encontrar el valor de $f?$ Por favor, sugiérame. Muchas gracias.

Answer 1

Como señala Friedrich, debemos hacer uso de la suposición de que la matriz es simétrica y, por tanto, los vectores propios son ortogonales entre sí. Así que la primera tarea es resolver $$\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=0$$ para que obtengamos el vector propio restante (compruebe usted mismo que el resultado es $(-1,-1,2)^T$ ).

Ahora conocemos la imagen de la transformación para un conjunto de bases $\{e_1=(1,1,1)^T,e_2=(1,-1,0)^T,e_3=(-1,-1,2)^T\}$ para $\mathbb{R}^3$ a saber $$Ae_1=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right),\quad Ae_2=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right),\quad Ae_3=\left(\begin{array}{c}-3\\-3\\6\end{array}\right).$$

Para obtener un valor de $f$ La forma más fácil, creo, es evaluar $$A\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)(=\left(\begin{array}{c}c\\e\\f\end{array}\right)).$$ Así que queremos conocer el conjunto de coeficientes $(c_1,c_2,c_3)$ tal que $c_1e_1+c_2e_2+c_3e_3=(0,0,1)^T.$ Lo bueno de la matriz formada por vectores ortogonales (si no ortonormales) es que podemos obtener la matriz diagonal multiplicando su transposición. Gracias a esto, podemos resolver el sistema fácilmente (comprueba por ti mismo que $(c_1,c_2,c_3)=(1/3,0,1/3)$ ). Después de todo, obtenemos $f=7/3.$

Answer 2

Sabemos que el rastro $a+d+f=4$

Ayúdate de las ecuaciones que has obtenido de $(A-\lambda I)X=0$

$a=b=d$ y $c=e$

Ahora $a+d+f=2a+f=4-----(1)$

Encuentre $a$ que no es muy difícil

$a+b+c=2a+c=1------(2)$

$c+e+f=2c+f=1------(3)$

Resolver $(2),(3)$ tenemos $4a-f=1----(4)$

Resolver $1$ y $4$ tenemos $f=\dfrac{7}{3}$

$3f=7$

Answer 3

Has olvidado tener en cuenta que $3$ es otro valor propio. Además, recordemos que los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales entre sí. Así, se puede obtener un vector propio correspondiente a $3$ .