Confusión relacionada con los conjuntos contablemente infinitos

Question

Posible duplicado:
¿Hay muchos más números irracionales que racionales?

He leído este artículo en el que se menciona

Contablemente infinito significa que se puede establecer una correspondencia unívoca entre el conjunto en cuestión y el conjunto de los números naturales. Se puede demostrar que no se puede establecer tal relación entre el conjunto de los números reales y los números naturales, por lo que el conjunto de los números reales no es "contable", sino que es infinito.

No estoy seguro de por qué los números reales no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales. ¿Alguien puede explicarlo?

Answer 1

Este es un resultado muy estándar que se puede encontrar en casi todos los libros de texto que proporcionan una introducción a la (des)contabilidad. La prueba más común utiliza El argumento diagonal de Cantor que se hace eco a continuación.

Supongamos que $\mathbb{R}$ es contable. Entonces podemos enumerar sus elementos como sigue: $$\mathbb{R} = \{ x_1, x_2, x_3, \cdots \}$$ (Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{N}$ es una biyección, entonces podemos tomar $x_i = f^{-1}(i)$ .)

Cada $x_i$ tiene una única expansión decimal en la que infinitas cadenas de $0$ s se toman si hay alguna ambigüedad. Por lo tanto, escriba $$\begin{align}x_1 &= n_1 + 0.d_{11}d_{12}d_{13} \cdots \\ x_2 &= n_2 + 0.d_{21}d_{22}d_{23} \cdots \\ x_3 &= n_3 + 0.d_{31}d_{32}d_{33} \cdots \\ &\ \vdots\end{align}$$ donde $n_i \in \mathbb{Z}$ para cada $i$ y $d_{ij} \in \{ 0, 1, \cdots, 9 \}$ .

Construir $x \in \mathbb{R}$ como sigue. Sea $$x = 0.d_1d_2d_3\cdots$$ donde $d_i = 0$ si $d_{ii} \ne 0$ y $d_i = 1$ si $d_{ii}=0$ . Entonces, en particular $d_i \ne d_{ii}$ para cualquier $i$ . Desde $x \in \mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ se supone que es contable, debemos tener $x=x_i$ para algunos $i$ pero eso significaría que $d_i = d_{ii}$ ... ¡contradicción!

Answer 2

Veo a dos personas dando el famoso argumento de la diagonal que Cantor escribió tres años después de haber demostrado la incontabilidad de los reales por un método diferente. Ese método diferente es bonito: http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_first_uncountability_proof .

Answer 3

Busca la "prueba diagonal de Cantor" en cualquier sitio. (no vi el artículo anterior antes de enviarlo, que presenta la prueba...)