Reconciliando vista de Minkowski y 3+1 de la relatividad especial

Question

Estoy teniendo problemas para conciliar el enfoque de Minkowski (4-dimensional) y el enfoque pre-Minkowski (3+1-dimensional) de la relatividad especial. Permítanme describir (cómo interpreto) las transformaciones de Lorentz en estos dos enfoques.

Vista 3+1

Existen dos marcos de referencia, $S(t,x,y,z)$ y $S'(t',x',y',z')$ de modo que $S'$ se mueve con velocidad $\vec{u} = u \vec{e}_x$ con respecto al marco $S$. Podemos tomar los ejes de los dos marcos como paralelos $\vec{e}_x = \vec{e}_{x'}$, $\vec{e}_y = \vec{e}_{y'}$ y $\vec{e}_z = \vec{e}_{z'}$. Aquí, se asume que los vectores de base de ambos marcos viven en el mismo espacio vectorial para que podamos compararlos y equipararlos.

Ahora, relacionemos la descripción del movimiento en estos dos marcos. Si una partícula se mueve con velocidad $\vec{v} = v^x \vec{e}_x + v^y \vec{e}_y + v^z \vec{e}_z$ en $S$ y con la velocidad correspondiente $\vec{v}' = v^{x'} \vec{e}_{x'} + v^{y'} \vec{e}_{y'} + v^{z'} \vec{e}_{z'}$ en $S'$, entonces las transformaciones de Lorentz implican la siguiente ley de transformación para las componentes de las velocidades $$v^{x'} = \frac{v^x - u}{1 - \frac{u v^x}{c^2}}, \quad v^{y'} = \frac{1}{\gamma}\frac{v^y}{1 - \frac{u v^x}{c^2}}, \quad \quad v^{z'} = \frac{1}{\gamma}\frac{v^z}{1 - \frac{u v^x}{c^2}},$$ donde $\gamma = (1-u^2/c^2)^{-1/2}$ es el factor de Lorentz estándar. Ahora, podemos multiplicar estas leyes de transformación con los vectores de base apropiados y sumar para obtener la ley de transformación para el vector de velocidad (y no solo las componentes) $$\vec{v}'_\parallel = \frac{\vec{v}_\parallel - \vec{u}}{1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2}}, \quad \vec{v}'_\perp = \frac{1}{\gamma} \frac{\vec{v}_\perp}{1 - \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{c^2}}.$$ Aquí, paralelo y perpendicular se refieren a $\vec{u}$. Las dos últimas ecuaciones tienen mucho sentido ya que todos los vectores involucrados son elementos del mismo espacio vectorial.

Vista de Minkowski

En la vista Minkowskiana, los dos marcos de referencia están descritos por dos tetrads $\{\vec{e}_t, \vec{e}_x, \vec{e}_y,\vec{e}_z\}$ y $\{\vec{e}_{t'}, \vec{e}_{x'}, \vec{e}_{y'},\vec{e}_{z'}\}$ que están relacionados mediante una rotación hiperbólica $$\vec{e}_{t'} = \vec{e}_{t} \cosh \chi + \vec{e}_{x} \sinh \chi, \quad \vec{e}_{x'} = \vec{e}_{x} \cosh \chi + \vec{e}_{t} \sinh \chi,$$ de modo que, mientras $\vec{e}_y = \vec{e}_{y'}$ y $\vec{e}_z = \vec{e}_{z'}$, los vectores de base $x$ y $x'$ ya no coinciden $\vec{e}_x \neq \vec{e}_{x'}$.

Por lo tanto, la primera diferencia desconcertante entre los dos enfoques es que no están de acuerdo en la igualdad de los vectores de base.

Veamos qué implica esto para la transformación de la velocidad. Una partícula con cuadri-velocidad $\vec{V}$ se describe igualmente bien en ambos marcos, $$\vec{V} = V^t \vec{e}_t + V^x \vec{e}_x + V^y \vec{e}_y + V^z \vec{e}_z = V^{t'} \vec{e}_{t'} + V^{x'} \vec{e}_{x'} + V^{y'} \vec{e}_{y'} + V^{z'} \vec{e}_{z'},$$ donde las leyes de transformación para las componentes se heredan de la ley de transformación para los vectores de base $$V^{t'} = V^{t} \cosh \chi - V^{x} \sinh \chi, \quad V^{x'} = V^{x} \cosh \chi - V^{t} \sinh \chi,$$ and $V^{y'} = V^y, V^{z'} = V^z. La relación estándar entre la tres- y la cuatro-velocidad se toma como $$\vec{V} = V^t (\vec{e}_t + \vec{v}/c) = V^{t'} (\vec{e}_{t'} + \vec{v}'/c).$$ Si escribimos las 3-velocidades en función de las componentes, tenemos $v^k =c V^k/V^t$, con $k \in \{x,y,z\}$ y de manera similar para el vector primo. A partir de las leyes de transformación conocidas de las componentes de la 4-velocidad, podemos deducir la ley de transformación para las componentes de la 3-velocidad $$v^{x'} = \frac{v^x - c \tanh \chi}{1 - \frac{v^x c \tanh \chi}{c^2}}, \quad v^{y'} = \frac{1}{\cosh \chi}\frac{v^y}{1 - \frac{v^x c \tanh \chi}{c^2}}, \quad v^{z'} = \frac{1}{\cosh \chi}\frac{v^z}{1 - \frac{v^x c \tanh \chi}{c^2}},$$ lo cual concuerda con la ley de transformación de 3+1 para las componentes de la 3-velocidad si identificamos $u = c \tanh \chi$ y $\gamma = \cosh \chi. Sin embargo, a diferencia del enfoque 3+1, no podemos convertir las transformaciones anteriores en transformaciones vectoriales porque los vectores de base $x$ y $x'$ ya no apuntan en la misma dirección.

Mi pregunta: ¿Cuál es la forma correcta de interpretar esta "paradoja"? Además, ¿cuál es la interpretación correcta de la fórmula de adición de velocidades? ¿Se mantiene solo a nivel de componentes o también a nivel de 3-vectores?

Answer 1

Creo que el hecho de que $\vec{e}_{x'} = \vec{e}_x \cosh\chi + \vec{e}_t \sinh\chi \neq \vec{e}_x$ puede interpretarse como una expresión directa de la relatividad de la simultaneidad.

Basándonos en nuestra experiencia no relativista, cuando decimos que $S$ observa que $S'$ se mueve en la dirección x, mientras que $S'$ observa que $S$ se mueve en la dirección x', automáticamente concluimos que el eje x en $S$ coincide con el eje x' en $S' . No hay razón para no hacerlo siempre que consideremos estrictamente la geometría 3D en el espacio 3D, sin hacer referencia a la coordenada de tiempo.

Sin embargo, cuando introducimos el tiempo y la relatividad, esto ya no es correcto, aunque comúnmente ignoramos el cambio porque está fuera del dominio de nuestra experiencia estándar. Para comprender por qué, imagina los ejes $x$ y $x'$ como varillas rectas muy delgadas que se extienden desde $-\infty$ hasta $\infty$ y están en reposo en sus respectivos marcos. Visto desde cualquiera de los marcos, una varilla está estacionaria, mientras que la otra se desliza a una velocidad uniforme. En $S$, los puntos de la varilla x descritos por $\vec{e}_{x}$ corresponden al mismo tiempo $t$. Pero $S$ observa la varilla $x'$ como en movimiento. Si examinamos esta última en el mismo tiempo dado $t$, según las transformaciones de Lorentz encontramos que cada uno de sus puntos corresponde a un tiempo diferente $t'$ en $S' . Esto es simplemente la relatividad de la simultaneidad. Desde este punto de vista, el hecho de que $\vec{e}_{x'} \neq \vec{e}_x$ simplemente nos dice que lo que es simultáneo en $S$ ya no es simultáneo en $S'$ y viceversa.

En cuanto a las fórmulas de velocidad, si te refieres a $\vec{V}$ y $\vec{V'}$, ten en cuenta que el componente temporal de una 4-velocidad no es independiente de los componentes espaciales. Por lo tanto, la suma de dos 4-velocidades no produce una 4-velocidad, aunque una 4-velocidad es un vector contravariante. Para tener cuatro componentes independientes susceptibles de una verdadera adición de 4-vectores debes usar el 4-momento, que para una partícula es la 4-velocidad multiplicada por la masa en reposo (escalar), $\vec{P} = m_0 \vec{V}$. Pero el 4-momento tiene un significado completamente diferente: no hay "momento relativo" de dos marcos inerciales.

Si te refieres a $v^k$ y $v^{k'}$, la fórmula de adición se refiere obviamente a las 3-velocidades observadas por $S$ y $S'$ en sus respectivas vistas en el espacio 3D.

Answer 2

Discrepo de que en la vista 3+1 tengas $\mathbf{e}_x = \mathbf{e}_{x'}$. Esto se debe a que estos vectores de hecho no pertenecen al mismo espacio. Para dar sentido a la noción de espacio tridimensional necesitas simultaneidad; necesitas poder formar un espacio tridimensional de vectores al mismo tiempo, donde puedas poner coordenadas $(x,y,z)$. Esto es implicito en la visión Galileana del espacio tiempo. La cuestión es que puedes construir tal simultaneidad, pero depende del observador; estoy seguro de que ya lo sabías.

La forma más fácil de entender lo que esto implica es considerar un espacio tiempo de 2+1, con un observador moviéndose en la dirección x con respecto al otro. En el marco $S$ puedes dibujar ejes mutuamente perpendiculares $t$-, $x$-, y $y$-. ¿Cuáles son los ejes correspondientes (es decir, los vectores de la base) de $S'$? El eje $y'$ es el mismo, pero los ejes $t'$ y $x'$ están rotados de acuerdo a la transformación de Lorentz. Nuevamente, esto no es nada nuevo; tu visión Minkowskiana dice que $\mathbf{e}_x \neq \mathbf{e}_{x'}$. Lo que creo que la conclusión debería ser es que la vista 3+1 es inválida; los vectores base 3d solo son "iguales" si pretendes que la simultaneidad es absoluta. Cuando escribes la ley de transformación para la 3-velocidad, te estás contradiciendo. Dices que lo obtienes de la transformación de Lorentz, ¡pero la transformación de Lorentz te está diciendo que los vectores base cambian!

Creo que esto llega al núcleo de tu pregunta. Has asumido que es posible que los vectores base no cambien, ¡y tu razonamiento te está diciendo que has asumido algo falso! En otras palabras, la vista 3+1 es incorrecta; al menos no puedo ver cómo tener sentido de ello.

Answer 3

Supongamos que estás comparando dos enfoques para llevar un seguimiento de la orientación en tres dimensiones: cuaterniones y ángulos de Euler, por ejemplo. Podrías preocuparte por el hecho de que tienen un comportamiento completamente diferente bajo rotación. Incluso podrías verlo como un "paradoxo" e intentar encontrar una "interpretación" física que relacione los cuaterniones con los ángulos de Euler. Pero los resultados físicamente observables, por ejemplo, al rotar un palo de escoba desde el eje z por 90 grados sobre el eje y, son los mismos para cada sistema. El resto es simplemente tu elección de abstracción matemática para llegar a esa respuesta.

De la misma manera, puedes preocuparte por las diferentes formas en que los ejes de Lorentz y Minkowski se transforman bajo aumentos y tratar de encontrar alguna intuición física al respecto. Pero no deberías hacerlo. La única conexión con la realidad para ambos sistemas es a través de sus predicciones de resultados observables. Los resultados físicamente observables son los mismos en ambos sistemas. El resto es simplemente abstracción.

Answer 4

Esta es simplemente la equivalencia entre transformaciones pasivas y activas.

En tu caso "pre-Minkowskiano", puedes considerar que los marcos $S$ y $S'$ son en realidad iguales en todos los aspectos, y es el vector de velocidad el que se está transformando. Dado que todos los vectores base son iguales, no hay forma de decir que $S$ y $S'$ son realmente diferentes. Por lo tanto, las velocidades diferentes medidas entre los dos son una transformación activa.

En el caso "Minkowskiano", hay dos marcos claramente distintos, y evaluamos los componentes de una única cantidad geométrica en dos bases diferentes. Eso es una transformación pasiva.

Pero sabemos por las matemáticas que las transformaciones pasivas y activas son iguales, y físicamente no puedes distinguir las dos. Entonces, ambas describen la misma física.

Answer 5

En el caso 3+1, los vectores de base espacial viven en el espacio euclidiano y la ley de transformación que derivaste, que es un impulso de Lorentz y NO incluye rotaciones espaciales, no afecta a los vectores de base espacial. En otras palabras, has encontrado cómo los dos observadores ven la velocidad usando la MISMA base espacial.

En el espacio de Minkowski, un impulso de Lorentz es una rotación hiperbólica de los ejes espacio-temporales por lo que, incluso en ausencia de rotaciones espaciales, la base "rota" de forma hiperbólica (por ejemplo, en el espacio 1+1 los ejes temporales y espaciales transformados ya no son ortogonales pero convergen simétricamente al cono de luz).

En conclusión, en el caso 3+1, un impulso de Lorentz no rota la base espacial pero en el espacio de Minkowski rota los ejes espaciales y temporales.