X e Y son independientes si $P(a < X \leq b, c < Y \leq d) = P(a < X \leq b) P(c < Y\leq d)$ prueba

Question

Para decirlo de otra manera, ¿cómo se puede demostrar que estas dos expresiones son equivalentes?

1. $P(X \leq x, Y \leq y) = P(X \leq x) P (Y \leq y)$

2. $P(a < X \leq b, c < Y \leq d) = P(a < X \leq b) P(c < Y\leq d) \quad$ para todos $a < b, c < d$

Intenté hacerlo escribiendo los eventos como una especie de uniones disjuntas, pero no conseguí nada. Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Sugerencia

Si 2. se mantiene

$$ \begin{align} \mathbb P(X\leq x, Y\leq y) &=\mathbb P(\bigcup_{n,m\geq 1}\{-n<X\leq x\}\cap\{ -m<Y\leq y\}) \\&=\lim_{n\to \infty }\lim_{m\to \infty }\mathbb P(-n<X\leq x, -m<Y\leq y) \\&=\lim_{n\to \infty }\mathbb P(-n<X\leq x)\lim_{m\to \infty }\mathbb P(-m<Y\leq y) \\&=\mathbb P(X\leq x)\mathbb P(Y\leq y). \end{align} $$

A la inversa, si 1. se mantiene, intente un argumento similar.