límite en el crecimiento de una función

Question

Estaba jugando con algunas ecuaciones funcionales y me encontré con la siguiente pregunta..

Supongamos que tenemos un $C^2(\mathbb R^2, \mathbb R)$ función $f$ con primeras y segundas derivadas globalmente acotadas..

Además, sabemos que $f(x, 0)=f(0, y)=0$ para cualquier $x, y\in \mathbb R$ .

¿Es cierto entonces que existe una constante $C> 0$ tal que, para cualquier $(x, y)\in\mathbb R^2$ tenemos

$$|f(x, y)|\leq C|xy|$$ ?

Answer 1

Nota

$$f(x,y) = \int_0^x \int_0^y \frac{\partial^2 f}{\partial X\partial Y}\,dY\,dX.$$

Por lo tanto, si $|\partial^2 f / \partial X \partial Y| \leq C$ entonces $|f(x,y)|\leq C|xy|$ .