Envolvente de las funciones de Bessel del primer tipo

Question

Al variar el orden $\nu$ de las funciones de Bessel del primer tipo $J_\nu(x)$ , puedes construir la envoltura de estas curvas. A partir de la expansión asintótica y del caso medio entero, sabemos que para grandes $x$ el sobre es

$$y=\sqrt{\frac2{\pi x}}.$$

Pero, ¿se conoce la envoltura exacta de cualquier $x$ ?

Answer 1

No estoy seguro de que sea lo suficientemente exacto $^\dagger$ pero se puede obtener una envolvente natural para la función de Bessel de orden $\nu$ combinando las funciones de Bessel y Neumann de este orden, obteniendo efectivamente la envoltura de una onda cilíndrica corrida:

$$\operatorname{env}_\nu(x)=\sqrt{J_\nu(x)^2+Y_\nu(x)^2},$$

o, en términos de funciones de Hankel,

$$\operatorname{env}_\nu(x)=\left|H^{(i)}_\nu(x)\right|,$$

donde $i$ puede ser $1$ o $2$ el resultado no depende de $i$ .

_{$^\dagger$ Es decir, podrías estar buscando una expresión que no esté en términos de funciones relacionadas con Bessel, que no es esta.}