Problema de máximos y mínimos

Question

Si una fábrica puede producir $ \ A(t)=\large \frac{36t}{1.5t^2+6} \ \ , 0 \leq t \leq 5$ libras de azúcar cada año entonces cuántos años después del inicio de la producción ¿se producirá la máxima cantidad de azúcar de la fábrica?

¿Cuál es esa cantidad?

Respuesta:

Tenemos

$ \ A(t)=\large \frac{36t}{1.5t^2+6} \\ $

Para la máxima producción,

$ A'(t)=0 \ \Rightarrow t=2 \ $

Así que después de $ \ 2 \ $ años la producción será máxima.

El importe es $ 2 \times A(2)=8.2 \ $

¿Estoy en lo cierto?

Creo que me he equivocado en alguna parte.

Answer 1

Para ser más precisos $A'(x)=0 \implies x = \pm 2$ . Por lo tanto, $x=2$ es el único valor en el dominio válido.

Para los problemas de dominio finito, siempre hay que comprobar los valores en los límites. Aquí también hay que comprobar $A(x=0)$ y $A(x=5)$ . Porque estos valores podrían ser más altos que el extremo que has encontrado.

Answer 2

Sí es correcto, de hecho desde que el dominio es compacto y $A(t)$ continua el máximo existe y

$$A(t)=\large \frac{36t}{1.5t^2+6}\implies A'(t)=\frac{36(1.5t^2+6)+3t\cdot 36 t}{(1.5t^2+6)^2}=\frac{96-24t^2}{(1.5t^2+6)^2}=0\implies t=2\implies A(2)=6$$

mientras que

• $A(0)=0$
• $A(5)<6$