Cómo encontrar el orden de un polo

Question

¿Cómo puedo encontrar el orden del polo $z = \frac{\pi}{2}$ para $f(z)=\frac{1}{(2\log(z))(1-\sin(z))}$ ? Sé que la respuesta debería ser 2, pero no puedo resolverlo, sobre todo debido a una mala comprensión de la teoría del orden de los polos. Por lo que he entendido, el orden debería ser igual al índice del primer miembro no nulo de la expansión en una serie. Sin embargo, no sé cómo expandir esta función en la singularidad para una serie de Taylor, y una serie geométrica no parece hacer el truco

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $2\log(z)$ no desaparece en $z=\frac\pi2$ por lo que podemos ignorarlo; no contribuye al polo. Así que consideremos simplemente $\dfrac1{1-\sin(z)}$ . Queremos escribir las cosas en términos de $w = z-\frac\pi2$ Así pues, dejemos que $\sin(z)=\sin(w+\frac\pi2) = \cos(w)$ donde al final he utilizado una simple fórmula trigonométrica. Entonces podemos expandir $\cos(w) = 1-\frac{w^2}2+\frac{w^4}{24}-...$ Así que $\dfrac{1}{1-\cos(w)} = \dfrac{1}{\frac{w^2}2-\frac{w^4}{24}+...} = \dfrac1{w^2(\frac12-\frac{w^2}{24}+...)}$ . Así, podemos ver que el orden del polo es 2.

Answer 2

Tiene la función $h(z)=\log(z)(1-\sin z)$ entonces

$h(\pi/2)=0$ ,

$h'(z)= \frac{1-\sin z}{z}- \log z \cos z$ entonces $h'(\pi/2)=0$

$h''(z)= \frac{-z\cos z-(1-\sin z)}{z^2}-\frac{\cos z}{z}+\log z\sin z$ entonces $h''(\pi/2)\ne 0$ por lo que $\pi/2$ es un cero de orden dos para $h$ por lo tanto, es un polo para $\frac{1}{h(z)}$ de orden dos.

Answer 3

Escriba $f(z)=\frac{ 1/\log z^2}{(1-\sin z)}=\frac{g(z)}{h(z)}$

Observe que $g(z)$ es analítica y no nula en $z=\pi/2$ por lo que el orden del cero de $h(z)$ determina el orden del polo de la función racional $f(z)$ .

$h(\pi/2)=h'(\pi/2)=0$ y $h''(\pi/2)\ne 0$ sugiere $h(z)$ tiene cero de orden $2$ en $z=\pi/2$ así que $f(z)$ tiene polo de orden $2$ allí.