¿Alguien conoce una estructura algebraica no trivial que satisfaga estas cuatro identidades?

Question

¿Alguien conoce una solución no trivial (es decir, de cardinalidad $\geq 2)$ estructura algebraica $(X,+,-)$ que satisfagan las siguientes identidades?

1. $(x+a)-a=x$

2. $(x-a)+a=x$

3. $(x+y)+a = (x+a)+(y+a)$

4. $(x-y)+a = (x+a)-(y+a)$

Observación. El grupo abeliano de orden $2$ no satisface las dos últimas condiciones.

Motivación. Creo que es genial que si $X$ es una estructura algebraica de este tipo, entonces para cada $a \in X$ las funciones $$x \mapsto x+a, \qquad x \mapsto x-a$$

son automorfismos de $X$ . Esto significa que si $a \in X$ y $f \in \mathrm{Aut}(X)$ entonces $f+a \in \mathrm{Aut}(X)$ y $f-a \in \mathrm{Aut}(X).$

Answer 1

En lugar de $+$ y $-$ Utilicemos $\tilde{+}$ y $\tilde{-}$ como las operaciones algebraicas que deseamos inventar.

Dejemos que $\mathcal{D} = \{\; a + b \epsilon : a, b \in \mathbb{R} \;\}$ sea el conjunto de números dobles en $\mathbb{R}$ . es decir el álgebra que extiende $\mathbb{R}$ mediante la adición de un nuevo elemento $\epsilon$ con la propiedad $\epsilon^2 = 0$ . Ahora define las operaciones binarias $\tilde{+}$ y $\tilde{-}$ en $\mathcal{D}$ por

$$\begin{align} ( a + b\epsilon)\;\tilde{+}\;(c + d\epsilon ) &\;\stackrel{def}{=} (a + b\epsilon) + (c + d\epsilon)\epsilon = a + (b + c)\epsilon\\ ( a + b\epsilon)\;\tilde{-}\; (c + d\epsilon ) &\;\stackrel{def}{=} (a + b\epsilon) - (c + d\epsilon)\epsilon = a + (b - c)\epsilon \end{align}$$

Es fácil de comprobar

1. $(x \;\tilde{+}\; a) \;\tilde{-}\; a = (x + a\epsilon) - a\epsilon = x$ .
2. $(x \;\tilde{-}\; a) \;\tilde{+}\; a = (x - a\epsilon) + a\epsilon = x$ .
3. $(x \;\tilde{+}\; y) \;\tilde{+}\; a = ( x + y\epsilon) + a\epsilon = ( x + a\epsilon ) + (y + a\epsilon)\epsilon = (x \;\tilde{+}\; a) \;\tilde{+}\; (y \;\tilde{+}\; a)$
4. $(x \;\tilde{-}\; y) \;\tilde{+}\; a = (x - y\epsilon) + a \epsilon = ( x + a\epsilon ) - ( y + a\epsilon)\epsilon = ( x \;\tilde{+}\; a ) \;\tilde{-}\; ( y \;\tilde{+} a )$

Como resultado, $( \mathcal{D}, \tilde{+}, \tilde{-} )$ es un ejemplo no trivial para el estructura de álgebra que está buscando.

Answer 2

Una estructura con estas propiedades se denomina quandle o kei. Surgen como importantes invariantes algebraicos de los nudos. Véase aquí .

Answer 3

Bueno, tengo un ejemplo estúpido en el que $X$ es un conjunto cualquiera y $+$ y $-$ actuar de forma trivial. Lo que quiero decir con trivialmente es:

$x+a=x-a=x$ para todos $x, a \in X$ . Lo que claramente no es interesante.

Answer 4

A continuación demostraré que, si $+$ es asociativo, entonces $x+a = x$ y $x-a = x$ para todos $x$ y $a$ . Esto es suficiente, creo, para calificarlo como una estructura algebraica "trivial", aunque el conjunto subyacente puede ser tan grande como se quiera.

A partir de (3):

\begin{align*} (x+y)+a &= (x+a) + (y+a)\\ (x+y)+a &= ((x+a)+y) + a & \text{by associativity}\\ x+y &= (x+a)+y & \text{by (1)}\\ x &= x+a & \text{by (1)} \end{align*}

Además, utilizando (2) encontramos que $x = (x+a) - a = x - a$ .