¿La capacidad se calcula sobre un volumen finito o sobre todo el espacio?

Question

¿La capacitancia de un sistema de conductores se calcula en un volumen finito o en todo el espacio?

Mi pregunta está motivada por el siguiente problema.

Un volumen $V$ en el vacío está limitada por una superficie $S$ que consiste en varias superficies conductoras separadas $S_i$ . Un conductor se mantiene en unidad potencial y todos los demás conductores están a potencial cero. Demostrar que la capacitancia de un conductor es $$ C = \epsilon_0 \int_V \left| \nabla \Phi \right|^2 d^3x $$ donde $\Phi(\mathbf{x})$ es la solución para el potencial.

(Fuente: Problema 1.17 en Jackson, 3ª ed.)

La energía potencial total del sistema es, $$ W = \sum_i^n \sum_j^n \frac{1}{2} C_{ij} V_i V_j = \frac{1}{2}C_{11} V_1^2 = \frac{1}{2} C $$

Ya que el conductor $1$ se mantiene a potencial unitario y todos los demás se mantienen a potencial cero.

Más generalmente, la energía potencial de un sistema es, $$ W = \frac{\epsilon_0}{2} \int \left| \mathbf{E} \right|^2 d^3x $$ Igualando las dos últimas expresiones se obtiene, $$ C = \epsilon_0 \int \left| \nabla \Phi \right|^2 d^3x $$ Esta integral es sobre todo el espacio, no sólo en el volumen $V$ . De hecho, si esta integral se simplifica a poco más del volumen $V$ ¿no implicaría eso que el campo fuera de la superficie es $0$ en todas partes (ya que cualquier contribución adicional a esta integral es definida positiva)? Mi intuición me dice que el campo es distinto de cero fuera de los conductores porque hay una diferencia de potencial entre el infinito (definida como $0$ ) y uno de los conductores (a potencial unitario), por lo que las líneas de campo deben dirigirse lejos de la superficie con potencial unitario y fluir hacia el infinito con potencial inferior (cero).

Mi opinión es que hay un problema con la contribución de la energía propia oculta en la integral de energía sobre todo el espacio. Si este es el caso, ¿alguien tiene una explicación intuitiva de por qué la contribución de la autoenergía existe sólo fuera del volumen $V$ ?

Mis preguntas:

• ¿El campo fuera de la superficie conductora es 0? Si es así, ¿por qué?
• ¿Falta algún pequeño detalle que prohíba este enfoque de la solución?

Answer 1

Sí, el campo fuera de la superficie conductora es 0. Si la carga neta dentro de la superficie conductora es 0, entonces los campos fuera de la superficie son cero. Es básicamente el efecto jaula de Faraday.

Y la carga neta dentro de la superficie conductora es 0, porque esa es la definición de un condensador.

Usted podría preguntar: "Bueno, pero ¿qué pasa si la carga neta es no cero?" En ese caso, habría dos condensadores relevantes en la pregunta:

• El condensador 1 es el condensador por el que te pregunta Jackson,
• El condensador 2 es el condensador en el que una placa es la superficie S, y la otra es el infinito.

Decir "S lleva una carga neta no nula" es exactamente lo mismo que decir "Hemos cargado el condensador nº 2".

Como la pregunta se refiere específicamente a la capacitancia del Capacitor #1, debes asumir que otros capacitores como el Capacitor #2 no están cargados.

Answer 2

Steve B tiene razón. Sólo quiero incluir un diagrama. Puedes ver que la superficie $\rm S$ formado por las superficies conductoras $\rm S_1, S_2, S_3,...., S_i$ que encierra el volumen $\rm V$ .

Supongamos que $\rm S_1$ está a potencial unitario y todos los demás están a potencial cero. Si $\rm S_1$ tiene $\rm Q$ cantidad de carga, entonces se induce una cantidad igual de carga negativa en los otros conductores. Así, la carga neta en $\rm S$ es cero. El flujo eléctrico a través de una superficie gaussiana hecha justo fuera $\rm S_3$ es, por tanto, cero. No sabemos y no importa cómo se distribuyen las cargas en $\rm S_i's$ . Dado que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie de un conductor, el campo eléctrico fuera de la superficie conductora $\rm S_3$ también es cero.

Como ha dicho Steve B si se diera que la superficie $\rm S$ tiene alguna carga neta no nula, entonces tendríamos que calcular la capacitancia de $\rm S$ que se llama su autocapacidad. Por ejemplo, la autocapacidad de una esfera conductora se calcula de esta manera: En primer lugar, se calcula la capacidad de un condensador esférico y, a continuación, en el límite del radio de la placa exterior que llega al infinito, se obtiene la capacidad de la esfera conductora interior.

Answer 3

Según Griffith, la integral sobre el volumen, que se extiende hasta más allá del volumen, y efectivamente a todo el espacio, es sólo una conveniencia matemática. $\mid E\mid^2$ disminuye rápidamente a medida que aumenta la distancia $(\propto\frac{1}{r^4})$ . Así, si tomamos todo el espacio, las contribuciones de la integral más allá del volumen que nos ocupa son despreciables, pero eso no significa que el campo sea $0$ .

Así que sí, hay un campo más allá $V$ ; simplemente ignoramos sus efectos.